Question

如圖所示，質量為M長方體木板A放在光滑的水平面上，一個質量為m小物體B從長方體木板A的最左端以水平向右的初速度v₀沿木板上表面開始運動，假設運動的整個過程中小物體B受到豎直向上的恒力F=

4

5

mg的作用，當小物體B滑到木板A的最右端時，小物體與木板恰好相對靜止．

（1）若已知木板的長為l，小物體與木板之間的動摩擦因數為μ，當地的重力加速度為g，求木板的質量M與小物體的質量m的比值；
（2）如只將小物體B受到的恒力F大小保持不變，方向變?yōu)樨Q直向下，當小物體B以另一水平向右的初速度v₀從木板的最左端開始運動，當小物體滑到木板的最右端時，小物體與木板也恰好相對靜止，求

v

′ 0

與v0之比．

Answer 1

分析：（1）由兩物體的受力可以求得其加速度，由于當小物體B滑到木板A的最右端時，小物體與木板恰好相對靜止，故兩者末速度相等，列位移關系式，可以解得質量之比．
（2）力F的方向改變，會改變M與m間的摩擦力，進而改變加速度，依據力的改變算出M和m的加速度，代入表達式可以得到速度比值

解答：解：
（1）m豎直方向受重力，支持力N，F三力平衡，故有：mg=N+F，水平方向受摩擦力，由牛頓第二定律：-f=ma₁，f=μN=μ（mg-F），
解得：a1=

-f

m

=

-μ(mg-F)

m

=-0.2μg，對M其水平方向受摩擦力大小為f，方向向右，故其加速度為：a2=

f

M

=

μmg

5M

，
對m由運動學得：x1=v0t+

1

2

a1t2，
對M：x2=

1

2

a2t2，由位移關系：x₁-x₂=l，代入：v0t+

1

2

a1t2-

1

2

a2t2=l①，
又末速度相等：a₂t=v₀+a₁t
即：t=

v0

a2-a1

②，
解得：

v02

2l

=a2-a1③，
即：

v02

2l

=

μmg

5M

+

μg

5

④，
解得

m

M

=

5v02

2μgl

-1
（2）若力F變?yōu)橄蛳�，對m有N=mg+F，則m的加速度變?yōu)椋?span id="nkq6jyl" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a1′=

-f′

m

=

-μ(mg+F)

m

=-

9μg

5

，
M的加速度變?yōu)椋?span id="io83lii" class="MathJye" mathtag="math" style="whiteSpace:nowrap;wordSpacing:normal;wordWrap:normal">a2′=

f′

M

=

9μmg

5M

，帶入③式得：

v0′2

2l

=

9μmg

5M

+

9μg

5

，
解得：v0′=

2l( 9μmg 5M + 9μg 5 )

，
由④解得：v0=

2l( μmg 5M + μg 5 )

，
故

v

′ 0

與v0之比為：

v0′

v0

=3：1
答：（1）木板的質量M與小物體的質量m的比值為：

m

M

=

5v02

2μgl

-1
（2）

v

′ 0

與v0之比為：

v0′

v0

=3：1

點評：本題重點要能從位移和速度的關系式變化出質量的比值，主要就是公式的變形處理問題．