Question

15．如圖所示，有三個寬度均相等的區(qū)域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ；在區(qū)域Ⅰ和Ⅲ內分別為方向垂直于紙面向外和向里的勻強磁場（虛線為磁場邊界），區(qū)域Ⅰ中磁場的磁感應強度大小為B，某種帶正電的粒子，從孔O₁以大小不同的速率沿圖示與aa′夾角α=30°的方向進入磁場（不計重力）．
（1）試求出粒子的比荷$\frac{q}{m}$、速度為2v₀的粒子從區(qū)域I射出時的位置離O₁的距離L；
（2）若速度為v的粒子在區(qū)域I內的運時間為$\frac{{t}_{0}}{5}$，在圖示區(qū)域Ⅱ中O₁O₂上方加豎直向下的勻強電場，O₁O₂下方對稱加豎直向上的勻強電場，場強大小相等，速度為v的粒子恰好每次均垂直穿過I、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域的邊界面并能回到O₁點，求所加電場場強大小與區(qū)域Ⅲ磁感應強度大小．

Answer 1

分析 （1）速度為υ_o和2υ_o時粒子在區(qū)域I內的運動時間相同，故粒子運動的軌跡對應的圓心角相同，故只能在區(qū)域I中運動，故其軌跡所對應的圓心角為300°=$\frac{5}{3}π$，根據周期公式通過運動的時間求出粒子的比荷．根據洛倫茲力提供向心力求出速度為2v₀的粒子運動的半徑，根據幾何關系計算速度為2v₀的粒子從區(qū)域I射出時的位置離O₁的距離L．
（2）度為υ的粒子每次均垂直穿過I、Ⅱ、Ⅲ區(qū)域的邊界面并能回到O₁點，根據要求作出運動的軌跡圖，根據粒子在電場中做類平拋運動，結合運動的周期性求出電場強度的大小，進入磁場做勻速圓周運動，在磁場中運動180°出磁場，根據半徑的大小關系求出磁感應強度的大�。�

解答 解：（1）由題意可得速度為v₀和2v₀的粒子均由區(qū)域Ⅰ左側aa′出磁場，則粒子轉過的圓心角為$\frac{5}{3}π$，
故${t}_{0}=\frac{5}{6}T$，
周期為：T=$\frac{2πm}{qB}$，
解得：$\frac{q}{m}=\frac{5π}{3B{t}_{0}}$．
對速度為2v₀的粒子在區(qū)域Ⅰ運動：$qB（2{v}_{0}）=m\frac{（2{v}_{0}）^{2}}{r}$，
解得：r=$\frac{2m{v}_{0}}{qB}=\frac{6{v}_{0}{t}_{0}}{5π}$．
由幾何關系可得：L=r=$\frac{6{v}_{0}{t}_{0}}{5π}$．
（2）當速度為v時，${t}_{1}=\frac{{t}_{0}}{5}$，圓心角θ=60°，
有：qvB=$m\frac{{v}^{2}}{R}$，
解得：R=$\frac{mv}{qB}=\frac{3v{t}_{0}}{5π}$．
根據幾何關系得：d=Rsin60°=$\frac{3\sqrt{3}v{t}_{0}}{10π}$，
$R（1-cos60°）=\frac{qE}{2m}{t}^{2}$，
水平方向做勻速直線運動，位移為：x=vt，
根據運動的對稱性及周期性知：2x+4nx=d （n=0、1、2、3…）
解得：E=$\frac{16}{3}Bv（2n+1）^{2}$．
在第Ⅲ區(qū)域中，帶電粒子做圓周運動的半徑為：$R′=\frac{R}{2}$，
即$\frac{mv}{qB′}=\frac{mv}{2qB}$，所以B′=2B．
答：（1）粒子的比荷$\frac{q}{m}$為$\frac{5π}{3B{t}_{0}}$、速度為2v₀的粒子從區(qū)域I射出時的位置離O₁的距離為$\frac{6{v}_{0}{t}_{0}}{5π}$．
（2）所加電場場強大小為$\frac{16}{3}Bv（2n+1）^{2}$，區(qū)域Ⅲ磁感應強度大小為2B．

點評 帶電粒子在勻強磁場中的運動是整個高中的重點，也是高考的必考的內容，粒子的運動過程的分析是解題的關鍵．