Question

19．如圖甲所示，在y≥0的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，其磁感應(yīng)強(qiáng)度B隨時間t變化的規(guī)律如圖乙所示；與x軸平行的虛線MN下方有沿+y方向的勻強(qiáng)電場，電場強(qiáng)度E=$\frac{8}{π}$×10³N/C．在y軸上放置一足夠大的擋板．t=0時刻，一個帶正電粒子從P點(diǎn)以v=2×10⁴m/s的速度沿+x方向射入磁場．已知電場邊界MN到x軸的距離為$\frac{π-2}{10}$m，P點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為1.1m，粒子的比荷$\frac{q}{m}$=10⁶C/kg，不計粒子的重力．求粒子：
（1）在磁場中運(yùn)動時距x軸的最大距離；
（2）連續(xù)兩次通過電場邊界MN所需的時間；
（3）最終打在擋板上的位置到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離．

Answer 1

分析 （1）帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，由洛倫茲力充當(dāng)向心力可求得半徑，再由幾何關(guān)系可求得離x軸的最大距離；
（2）由周期公式求出粒子的周期；根據(jù)磁場的變化周期可明確帶電粒子在磁場中的運(yùn)動情況，同時明確粒子在電場中的運(yùn)動；根據(jù)牛頓運(yùn)動定律可求得在電場中運(yùn)動的時間；從而得出粒子在磁場中可能的運(yùn)動情況；從而求出對應(yīng)的時間；
（3）分析粒子的運(yùn)動過程，根據(jù)幾何關(guān)系可求出J點(diǎn)到O點(diǎn)的距離．

解答 解：（1）粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動，有：$qvB=m\frac{v^2}{R}$
解得半徑為：R=0.2m
粒子在磁場中運(yùn)動時，到x軸的最大距離為：y_m=2R=0.4m
（2）如答圖甲所示，粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的周期為：$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2π×0.2}{{2×{{10}^4}}}=2π×{10^{-5}}$s
由磁場變化規(guī)律可知，它在0-$\frac{3π}{2}×1{0^{-5}}$s（即0-$\frac{3}{4}T$）時間內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動至A點(diǎn)，接著沿-y方向做勻速直線運(yùn)動直至電場邊界C點(diǎn)，用時為：
${t_2}=\frac{{R+{y_0}}}{v}=\frac{π}{2}×{10^{-5}}s=\frac{T}{4}$
進(jìn)入電場后做勻減速運(yùn)動至D點(diǎn)，由牛頓定律得粒子的加速度為：
$a=\frac{qE}{m}=\frac{8}{π}×{10^9}m/{s^2}$
粒子從C點(diǎn)減速至D再反向加速至C所需的時間為：
${t_3}=\frac{2v}{a}=\frac{{2×2×{{10}^4}}}{{\frac{8}{π}×1{0^9}}}=\frac{π}{2}×1{0^{-5}}s=\frac{T}{4}$
接下來，粒子沿+y軸方向勻速運(yùn)動至A所需時間仍為t₂，磁場剛好恢復(fù)，粒子將在洛倫茲力的作用下從A做勻速圓周運(yùn)動，再經(jīng)$\frac{3π}{2}×1{0^{-5}}$s時間，粒子將運(yùn)動到F點(diǎn)，此后將重復(fù)前面的運(yùn)動過程．所以粒子連續(xù)通過電場邊界MN有兩種可能：
第一種可能是，由C點(diǎn)先沿-y方向到D再返回經(jīng)過C，所需時間為：
t=t₃=$\frac{π}{2}×1{0^{-5}}s$
第二種可能是，由C點(diǎn)先沿+y方向運(yùn)動至A點(diǎn)開始做勻速圓周運(yùn)動一圈半后，從G點(diǎn)沿-y方向做勻速直線運(yùn)動至MN，
所需時間為：$t'=\frac{T}{4}+\frac{3T}{2}+\frac{T}{4}=2T=4π×{10^{-5}}$s
（3）由上問可知，粒子每完成一次周期性的運(yùn)動，將向-x方向平移2R（即答圖甲中所示從P點(diǎn)移到F點(diǎn)），
$\overline{OP}=1.1m=5.5R$，故粒子打在擋板前的一次運(yùn)動如答圖乙所示，其中I是粒子開始做圓周運(yùn)動的起點(diǎn)，J是粒子打在擋板上的位置，
K是最后一段圓周運(yùn)動的圓心，Q是I點(diǎn)與K點(diǎn)連線與y軸的交點(diǎn)．
由題意知：$\overline{QI}=\overline{OP}-5R=0.1m$
$\overline{KQ}=R-\overline{QI}=0.1m=\frac{R}{2}$，則有：$\overline{JQ}=\sqrt{{R^2}-{{（{\overline{KQ}}）}^2}}=\frac{{\sqrt{3}}}{2}R$
J點(diǎn)到O的距離為：$\overline{JO}=R+\frac{{\sqrt{3}}}{2}R=\frac{{2+\sqrt{3}}}{10}m≈0.37m$
答：（1）在磁場中運(yùn)動時距x軸的最大距離為0.4m；
（2）連續(xù)兩次通過電場邊界MN所需的時間可能為$\frac{π}{2}×1{0}^{-5}$s或4π×10^-5s
（3）最終打在擋板上的位置到坐標(biāo)原點(diǎn)O的距離為0.37m．

點(diǎn)評 本題考查了小球在復(fù)合場中的運(yùn)動，分析清楚小球的運(yùn)動過程，應(yīng)用小球最圓周運(yùn)動的周期公式與半徑公式、牛頓第二定律等內(nèi)容進(jìn)行分析求解；分析運(yùn)動的全過程是解題的關(guān)鍵；對學(xué)生分析能力、綜合能力和應(yīng)用數(shù)學(xué)能力要求較高．