Question

（2010?鎮(zhèn)江一模）在光滑絕緣的水平面（紙面）上建有如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，在此水平面上可視為質(zhì)點(diǎn)的不帶電小球a靜止于坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，可視為質(zhì)點(diǎn)的帶正電小球b靜止在坐標(biāo)為（0，-h）的位置上．現(xiàn)加一方向沿y軸正方向、電場(chǎng)強(qiáng)度大小為E、范圍足夠大的勻強(qiáng)電場(chǎng)，同時(shí)給a球以某一速度使其沿x軸正方向運(yùn)動(dòng)．當(dāng)b球到達(dá)坐標(biāo)系原點(diǎn)O時(shí)速度為v₀，此時(shí)立即撤去電場(chǎng)而改加一方向垂直于紙面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B、范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，最終b球能與a球相遇．求：
（1）b球的比荷

q

m

；
（2）從b球到達(dá)原點(diǎn)O開(kāi)始至b球與a球相遇所需的時(shí)間；
（3）撤去電場(chǎng)時(shí)，a球的位置坐標(biāo)．

Answer 1

分析：（1）b球在電場(chǎng)力作用下做勻加速運(yùn)動(dòng)，電場(chǎng)力做功等于b球的動(dòng)能變化，根據(jù)動(dòng)能定理可求得b球的比荷

q

m

；
（2）b球到達(dá)原點(diǎn)O后在洛倫茲力作用下而做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)牛頓第二定律可求出圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，由圓周運(yùn)動(dòng)知識(shí)求出周期T．如圖，b球只能與a球在圖中的S處相遇，即可根據(jù)周期性求出時(shí)間．
（3）a球從O點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到S點(diǎn)的過(guò)程中，b球先做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，a球做勻速直線運(yùn)動(dòng)，兩球運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相同，即可得到a球從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到兩球相遇所用的時(shí)間，位移等于b球圓周運(yùn)動(dòng)的直徑，由公式v=

x

t

可求出a球的速度，再由位移公式求解出撤去電場(chǎng)時(shí)，a球的位置坐標(biāo)．

解答：解：（1）b球在電場(chǎng)力作用下加速，由動(dòng)能定理得：qEh=

1

2

m

v

2 0

 則b球的比荷為

q

m

=

v 2 0

2Eh

（2）b球運(yùn)動(dòng)到原點(diǎn)后，只在磁場(chǎng)力作用下，在水平面上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，有：qv₀B=m

v 2 0

R

得：R=

mv0

qB

 
b球圓周運(yùn)動(dòng)的周期為 T=

2πR

v0

=

2πm

qB

=

4πhE

B v 2 0

b球只能與a球相遇在圖中的S處，相遇所需時(shí)間為：
t=（k+

1

2

）T=（k+

1

2

）

4πhE

B v 2 0

，（k=1，2，3，…） 
（3）a球從O點(diǎn)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到S點(diǎn)，與b球相遇所用時(shí)間為：t′=t₁+t
由h=

v0

2

t1得：t1=

2h

v0

a球通過(guò)的位移為：OS=2R
由v=

2R

t1+t

可得a球的速度為：v=

2Ev0

Bv0+(2k+1)πE

則撤去電場(chǎng)時(shí)，a球在x軸上的坐標(biāo)為：x₀=vt₁=

4Eh

Bv0+(2k+1)πE

球的位置為（

4Eh

Bv0+(2k+1)πE

，0）（k=1，2，3，…）
答：（1）b球的比荷

q

m

為

v 2 0

2Eh

；
（2）從b球到達(dá)原點(diǎn)O開(kāi)始至b球與a球相遇所需的時(shí)間是

4πhE

B v 2 0

，（k=1，2，3，…）；
（3）撤去電場(chǎng)時(shí)，a球的位置坐標(biāo)是（

4Eh

Bv0+(2k+1)πE

，0）（k=1，2，3，…）．

點(diǎn)評(píng)：本題的解題關(guān)鍵是分析兩球的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，抓住兩球運(yùn)動(dòng)的同時(shí)性，以及b球圓周運(yùn)動(dòng)的周期性即可求出時(shí)間．