Question

16．如圖為豎直平面內(nèi)半徑為R的光滑絕緣圓軌道，其中O為圓心，A、B為軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)．半徑OA與半徑OC的夾角為θ．軌道所處空間存在著與軌道平面平行的水平方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)．一質(zhì)量為m帶電量為+q的絕緣小球（可視為質(zhì)點(diǎn)）從A點(diǎn)以v₀的初速度沿圓弧做圓周運(yùn)動(dòng)．已知小球在C點(diǎn)所受合力的功率為0．求
（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小和方向；
（2）小球在B點(diǎn)的速度大��；
（3）小球?qū)�軌道的最小壓力�?

Answer 1

分析 （1）已知小球在C點(diǎn)所受合力的功率為0，而合力不為零，說明合力與速度垂直，即合力指向圓心，則電場(chǎng)力和重力的合力背離圓心，由力的合成法求電場(chǎng)強(qiáng)度的大小，并確定出電場(chǎng)強(qiáng)度的方向．
（2）由動(dòng)能定理求出B點(diǎn)的速度大�。�
（3）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)速度最小，對(duì)軌道的壓力最小，先由動(dòng)能定理求出速度，再由牛頓運(yùn)動(dòng)定律求最小的壓力．

解答 解：（1）在C點(diǎn)，電場(chǎng)力和重力的合力背離圓心，則小球所受的電場(chǎng)力水平向右，所以電場(chǎng)強(qiáng)度方向水平向右．由力的合成有：qE=mgtanθ
得：E=$\frac{mgtanθ}{q}$
（2）從A到B，由動(dòng)能定理得：-2mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
得：v_B=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-4gR}$
（3）當(dāng)小球運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)關(guān)于O點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)時(shí)速度最小，對(duì)軌道的壓力最小，設(shè)該點(diǎn)為D．電場(chǎng)力和重力的合力大小為：F=$\frac{mg}{cosθ}$
從A到D，由動(dòng)能定理得：-mgR（1+cosθ）-qERsinθ=$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$-$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
在D點(diǎn)，由牛頓第二定律得：N+F=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
由以上三式聯(lián)立解得軌道對(duì)小球最小的支持力為：N=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$-mg（2+$\frac{3}{cosθ}$）
答：（1）電場(chǎng)強(qiáng)度的大小為$\frac{mgtanθ}{q}$，方向水平向右；
（2）小球在B點(diǎn)的速度大小是$\sqrt{{v}_{0}^{2}-4gR}$；
（3）小球?qū)�軌道的最小壓力是m$\frac{{v}_{0}^{2}}{R}$-mg（2+$\frac{3}{cosθ}$）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查帶電粒子在電場(chǎng)和重力場(chǎng)復(fù)合場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，靈活運(yùn)用動(dòng)能定理和牛頓第二定律相結(jié)合研究，可用類比的方法理解：D點(diǎn)相當(dāng)于重力場(chǎng)中豎直平面內(nèi)圓周運(yùn)動(dòng)的最高點(diǎn)．