Question

如圖，在豎直平面內(nèi)有一固定光滑軌道，其中AB部分是傾角為37°的直軌道，BCD部分是以O(shè)為圓心、半徑為R的圓弧軌道，兩軌道相切于B點(diǎn)，D點(diǎn)與O點(diǎn)等高，A點(diǎn)在D點(diǎn)的正下方．質(zhì)量為m的小球在沿斜面向上的拉力F作用下，從A點(diǎn)由靜止開始做變加速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)B點(diǎn)時(shí)撤去外力．已知小球剛好能沿圓軌道經(jīng)過最高點(diǎn)C，然后經(jīng)過D點(diǎn)落回到A點(diǎn)．已知sin37°=0.6，cos37°=0.8，重力加速度大小為g．求
（1）小球在C點(diǎn)的速度的大��；
（2）小球在AB段運(yùn)動(dòng)過程，拉力F所做的功；
（3）小球從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間．

Answer 1

分析：（1）已知小球剛好能沿圓軌道經(jīng)過最高點(diǎn)C，由重力完全提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律求解；
（2）先由幾何關(guān)系求出AB的長(zhǎng)度．小球從B到C段運(yùn)動(dòng)過程，運(yùn)用機(jī)械能守恒列式；從A到B段運(yùn)動(dòng)過程，運(yùn)用動(dòng)能定理列式，即可求解；
（3）小球從C到D過程，運(yùn)用機(jī)械能守恒列式，求出到達(dá)D點(diǎn)的速度大�。粡腃到A過程，運(yùn)用機(jī)械能守恒列式，求出到達(dá)A點(diǎn)的速度大�。�小球從D到A過程，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解時(shí)間．

解答：解：（1）在C點(diǎn)：由牛頓第二定律得，mg=m

v 2 C

R

解得：v_C=

gR

（2）已知θ=37°外力在AB段所做的功為W，由幾何關(guān)系得：AB=

R+Rsinθ

cosθ

=2R
從B到C，根據(jù)機(jī)械能守恒定律

1

2

m

v

2 B

=

1

2

m

v

2 C

+mg（R+Rcosθ）
從A到B，根據(jù)動(dòng)能定理，
 W-mg2Rsinθ=

1

2

m

v

2 B

聯(lián)立解得：W=

7

2

mg
（3）從C到D，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，
 

1

2

m

v

2 D

=

1

2

m

v

2 C

+mgR
解得：v_D=

3gR

從C到A，根據(jù)機(jī)械能守恒定律，

1

2

mv

2 A

=

1

2

m

v

2 C

+mg3R
解得：v_A=

7gR

從D到A做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，
 AD=

1

2

(vD+vA)t
解得：t=（

7

-

3

）

R g

答：
（1）小球在C點(diǎn)的速度的大小為

gR

；
（2）小球在AB段運(yùn)動(dòng)過程，拉力F所做的功為

7

2

mg；
（3）小球從D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)所用的時(shí)間為（

7

-

3

）

R g

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了動(dòng)能定理，運(yùn)動(dòng)學(xué)基本公式的直接應(yīng)用，物體恰好通過C點(diǎn)是本題的突破口，這一點(diǎn)要注意把握，難度適中．