Question

9．如果一質點沿直線Ox方向做加速運動，它離開O點的距離x隨時間變化的關系為x=3+2t³，單位是m，它的速度隨時間變化的關系為v=6t²，單位是m/s．
（1）求解t=2s時的瞬時速度；
（2）t=0到t=2s間的平均速度；
（3）假設t=0到t=2s內的加速度不變，求此加速度；
（4）實際上物體的加速度是變化的，試用加速度定義a=$\frac{△v}{△t}$，求t=2s 時的加速度．

Answer 1

分析 將t=2s代入質點的速度隨時間變化的關系式v=6t²（m/s），即可求出瞬時速度．將t=0s和t=2s代入距離隨時間變化的關系式x=3+2t³（m），可求出兩個時刻質點離O點的距離，求得位移，再由公式$\overline{v}$=$\frac{x}{t}$求解平均速度．

解答 解：（1）將t=2s代入質點的速度隨時間變化的關系式v=6t²（m/s），
得t=2s時刻的瞬時速度為：v=6×2²m/s=24m/s．
（2）將t=0s和t=2s分別代入距離隨時間變化的關系式x=3+2t³（m），得：
x₁=3m，
x₂=19m，
則質點在2s時間內通過的位移為 x=x₂-x₁=19m-3m=16m
t=0s到t=2s間的平均速度為：$\overline{v}$=$\frac{x}{t}$=$\frac{16}{2}$m/s=8m/s．
（3）將t=0s代入質點的速度隨時間變化的關系式v=6t²（m/s），
得t=0s時刻的瞬時速度為：v₀=0，
由$a=\frac{△v}{△t}$
代入數(shù)據(jù)得：a=12m/s²
（4）由加速度的定義式：$a=\frac{△v}{△t}$得：
a=$\frac{6（t+△t）^{2}-6{t}^{2}}{△t}$，
將t=2s代入，化簡得：
a=12t+6△t
當△t→0時，a=12t=12×2=24m/s²
答：（1）解t=2s時的瞬時速度是24m/s；
（2）t=0到t=2s間的平均速度是8m/s；
（3）假設t=0到t=2s內的加速度不變，此加速度是12m/s²
（4）根據(jù)加速度定義a=$\frac{△v}{△t}$，t=2s 時的加速度是24m/s²．

點評 本題運用數(shù)學上代入法解題，只要掌握位移與距離的關系和平均速度公式就能正確求解．