Question

8．2013年6月13日13時(shí)18分，天宮一號(hào)目標(biāo)飛行器與神舟十號(hào)飛船成功實(shí)現(xiàn)自動(dòng)交會(huì)對(duì)接．組合體繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，地球半徑為R，地球表面的重力加速度為g，求
（1）組合體離地面的高度及速度大�。�
（2）若對(duì)接前，神舟十號(hào)飛船在較低的軌道上與天宮一號(hào)目標(biāo)飛行器同向做圓周運(yùn)動(dòng)，此后，神舟十號(hào)飛船通過(guò)發(fā)動(dòng)機(jī)做功W，增加引力勢(shì)能E，實(shí)現(xiàn)天宮一號(hào)目標(biāo)飛行器的對(duì)接，則發(fā)動(dòng)機(jī)做功前，神舟十號(hào)飛船所在的高度是多少（神舟十號(hào)飛船的質(zhì)量為m）？

Answer 1

分析 萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$，和在地球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$，可以解得組合體離地面的高度，根據(jù)線速度與軌道半徑和周期的關(guān)系可以計(jì)算出速度大�。�根據(jù)能量守恒結(jié)合線速度的表達(dá)式計(jì)算動(dòng)機(jī)做功前神舟十號(hào)飛船所在的高度．

解答 解：（1）組合體繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)，萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
又因?yàn)樵诘厍虮砻娴奈矬w受到的重力等于萬(wàn)有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$
解得$r=\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$
因?yàn)閞=h+R
所以組合體離地面的高度為h=r-R=$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$
運(yùn)行的速度為v=$\frac{2πr}{T}$=$\frac{2π}{T}\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}$=$\root{3}{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}}$
（2）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}$，得$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，
神舟十號(hào)飛船在較低的軌道上做離心運(yùn)動(dòng)到高軌道上與天宮一號(hào)對(duì)接，軌道高度增加，速度減小，即動(dòng)能減�。�
根據(jù)能量守恒定律可知，減少的動(dòng)能為△E_k=E-W
即$\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}m（\root{3}{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}}）^{2}=E-W$
因?yàn)?v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$=$\sqrt{\frac{g{R}^{2}}{R+H}}$
所以$\frac{1}{2}m\frac{g{R}^{2}}{R+H}-\frac{1}{2}m{（\root{3}{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}}）}^{2}=E-W$
解得H=$\frac{g{R}^{2}}{\frac{2（E-W）}{m}-（{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}）}^{\frac{2}{3}}}-R$
答：（1）組合體離地面的高度為$\root{3}{\frac{g{R}^{2}{T}^{2}}{4{π}^{2}}}-R$，速度大小為$\root{3}{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}}$；
（2）發(fā)動(dòng)機(jī)做功前，神舟十號(hào)飛船所在的高度是$\frac{g{R}^{2}}{\frac{2（E-W）}{m}-（{\frac{2πg(shù){R}^{2}}{T}）}^{\frac{2}{3}}}-R$．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是要掌握萬(wàn)有引力提供向心力$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$和在地球表面的物體受到的重力等于萬(wàn)有引力$mg=G\frac{Mm}{{R}^{2}}$這兩個(gè)關(guān)系，并且要能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式．