Question

【題目】“蹦極”就是跳躍者把一端固定的長(zhǎng)彈性繩綁在踝關(guān)節(jié)等處，從幾十米高處跳下的一種極限運(yùn)動(dòng)，圖甲所示是其中的一個(gè)情景。為了研究蹦極過(guò)程，做以下簡(jiǎn)化：將游客視為質(zhì)點(diǎn)，他的運(yùn)動(dòng)沿豎直方向，忽略彈性繩的質(zhì)量和空氣阻力。某次蹦極時(shí)，游客從蹦極平臺(tái)由靜止開(kāi)始下落，彈性繩的彈力大小可以用F=kΔx來(lái)計(jì)算，式中k為常量，Δx為彈性繩的伸長(zhǎng)量。已知該彈性繩的自然長(zhǎng)度為20m，取g= 10m/s2。則：

（1）彈性繩剛伸直的瞬間游客的速度是多大？

（2）取彈性繩剛伸直時(shí)游客所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，取豎直向下為正方向，建立x軸。從彈性繩剛伸直開(kāi)始，游客向最低點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，請(qǐng)推導(dǎo)游客的加速度a與位移x滿(mǎn)足的關(guān)系，并在圖乙中定性畫(huà)出a隨x變化關(guān)系的圖像。

（3）試論證游客在蹦極過(guò)程中的最大加速度大于g。

Answer 1

【答案】（1）

（2）

如圖所示：

（3）論證過(guò)程請(qǐng)見(jiàn)解析

【解析】

（1）在彈性繩伸直前，游客向下做自由落體運(yùn)動(dòng)，則根據(jù)速度與位移關(guān)系可知彈性繩剛伸直的瞬間游客的速度大小為：，方向向下；

（2）取彈性繩剛伸直時(shí)游客所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，相對(duì)坐標(biāo)原點(diǎn)位移為

則開(kāi)始時(shí)彈力小于重力，繼續(xù)向下加速度，則根據(jù)牛頓第二定律：，

則，方向向下；

可知隨著位移增加，加速度減小，當(dāng)即時(shí)加速度最小為零，此時(shí)刻速度最大；

隨著位移繼續(xù)增加，加速度開(kāi)始反方向增大；

綜上所述加速度a與位移x的關(guān)系為：

由于取向下為正方向，則關(guān)系圖像如圖所示：

（3）當(dāng)彈性繩剛伸直時(shí)為A點(diǎn)，當(dāng)重力和彈力相等時(shí)為O點(diǎn)，另取一點(diǎn)為B點(diǎn)，如圖所示：設(shè)，

假設(shè)：A點(diǎn)的速度為零，到達(dá)B點(diǎn)速度也為零，則從A到B重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈性勢(shì)能

則：

而且在O點(diǎn)重力與彈力相等，則

聯(lián)立可以得到：，說(shuō)明A與B相對(duì)O點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則根據(jù)牛頓第二定律求出此時(shí)在B點(diǎn)加速度為：，則，方向豎直向上；

但是：由題可知，游客到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度不為零，根據(jù)能量守恒可知到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度也不為零，游客到達(dá)B點(diǎn)之后還會(huì)繼續(xù)向下運(yùn)動(dòng)，彈性繩的伸長(zhǎng)量繼續(xù)增大，彈力繼續(xù)增大，則當(dāng)速度為零時(shí)其位置在B點(diǎn)下面，則速度為零時(shí)其加速度最大，會(huì)大于，方向向上。