Question

7．激流勇進是游樂園常有的機動游樂項目，其工作原理是由主動輪將游船沿較長的傾斜軌道提升至一定高度，然后船只從高處滑下，沖入水中，濺起很高且美麗的水花，整個過程刺激又有趣．其工作過程可以簡化如下情景：如圖所示，左傾斜角α=30°的軌道AB（其長L₁=30m）上相互間隔安裝著主動輪，主動輪與游船間的動摩擦因數(shù)μ₁=$\frac{\sqrt{3}}{2}$；右側(cè)傾角β=53°的軌道CD（其長L₂=20m）上相互間隔安裝著導(dǎo)向輪（不會提供動力），導(dǎo)向輪與游船間的動摩擦因數(shù)均為μ₂=$\frac{41}{72}$；左右兩側(cè)軌道通過一段平滑軌道BC（其長L₃=3m）相連，兩相鄰主動輪（或?qū)�向輪）間的距離s₀=1m，長為L₀=2m的游船上坐著兩個游客，總質(zhì)量為180kg，從左側(cè)軌道如圖所示的位置由靜止開始被主動輪帶動向上運動（主動輪的半徑r=0.2m，恒定的角速度ω=10rad/s），達(dá)恒定的速率后，一直以此速率運動到游船尾部剛好與右側(cè)軌道的上端C點平齊的位置，之后在導(dǎo)向輪上向下滑動．已知g=10m/s²，sin53°=0.6，cos53°=0.6．求：
（1）游船從軌道左側(cè)運動到右側(cè)底端（船頭剛好觸及水面）所用總時間；
（2）動力裝置在游船達(dá)到恒定速率前后（沒有到達(dá)BC軌道）需增加的功率之比．

Answer 1

分析 （1）游客先加速上升、再勻速上升、最后加速下降，根據(jù)牛頓第二定律分階段求解加速度，根據(jù)運動學(xué)公式列式求解各段的時間和位移，得到總時間；
（2）根據(jù)P=Fv求解瞬時功率，求解比值即可．

解答 解：（1）游客加速上升階段，設(shè)其加速度為a₁，由牛頓第二定律，有：
μ₁mgcos30°-mgsin30°=ma₁
代入數(shù)據(jù)解得：
${a}_{1}=2.5m/{s}^{2}$
從靜止到達(dá)到共速所用時間為t₁，上移的距離為x₁，由運動學(xué)規(guī)律有：
v=a₁t₁
主動輪的線速度為：v=rω=0.3×10m/s=2m/s
聯(lián)立解得：t₁=0.8s
又因為${x}_{1}=\frac{v}{2}{t}_{1}$，
解得：x₁=0.8m
勻速運動的位移為：x₂=L₁+L₃-x₁=（30+3-0.8）m=32.2m
勻速運動的時間：${t}_{2}=\frac{{x}_{2}}{v}=\frac{32.2}{2}=16.1s$
游船在右側(cè)軌道上勻加速運動，加速度為a₂，由牛頓第二定律，有：
mgsinβ-μ₂mgcosβ=ma₂ 
代入數(shù)據(jù)解得：${a}_{2}=\frac{55}{12}m/{s}^{2}$
加速運動的時間為t₁，游船在右側(cè)軌道上發(fā)生的位移為：${L}_{2}-{L}_{0}=v{t}_{3}+\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{3}^{2}$
聯(lián)立解得：t₂=2.4s
故游船從軌道左側(cè)運動到右側(cè)底（船頭剛好觸到水面）所用的總時間為：
t=t₁+t₂+t₃=19.3s 
（2）游船達(dá)到恒定速率前動力裝置增加的功率為：
P₁=f₁v=（μ₁mgcosα）v 
游船達(dá)到恒定速率后動力裝置增加的功率為：
P₂=f₂v=（mgsinα）v 
動力裝置在游船達(dá)到恒定速率前后（沒有到達(dá)BC軌道）需增加的功率之比：
$\frac{{P}_{1}}{{P}_{2}}=\frac{{μ}_{1}cosα}{sinα}=\frac{3}{2}$
答：（1）游船從軌道左側(cè)運動到右側(cè)底端（船頭剛好觸及水面）所用總時間為19.3s；
（2）動力裝置在游船達(dá)到恒定速率前后（沒有到達(dá)BC軌道）需增加的功率之比為3：2．

點評 本題關(guān)鍵是明確游船的運動情況、受力情況，要分加速上升、勻速上升、加速下降過程進行分析，根據(jù)牛頓第二定律、運動學(xué)公式和功率的公式列式求解，不難．