Question

2．如圖，在場(chǎng)強(qiáng)大小為E、水平向右的勻強(qiáng)電場(chǎng)中，一輕桿可繞固定轉(zhuǎn)軸O在豎直平面內(nèi)自由轉(zhuǎn)動(dòng)．桿的兩端分別固定兩電荷量均為q的小球A、B，A帶正電，B帶負(fù)電；A、B兩球到轉(zhuǎn)軸O的距離分別為2l、l，所受重力大小均為電場(chǎng)力大小的$\sqrt{3}$倍．開始時(shí)桿與電場(chǎng)間夾角為θ（90°≤θ≤180°）．將桿從初始位置由靜止釋放，以O(shè)點(diǎn)為重力勢(shì)能和電勢(shì)能零點(diǎn)．求：
（1）初始狀態(tài)的電勢(shì)能W_e；
（2）桿在平衡位置時(shí)與電場(chǎng)間的夾角α；
（3）桿在電勢(shì)能為零處的角速度ω．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)W=qU 求的初態(tài)的電勢(shì)能
（2）根據(jù)力矩關(guān)系即可求得與電場(chǎng)間的夾角α
（3）電勢(shì)能為零時(shí)，桿處于豎直位置，當(dāng)初始時(shí)OA與電場(chǎng)間夾角θ=150°時(shí)，A恰能到達(dá)O正上方，在此位置桿的角速度為0，根據(jù)能量守恒即可判斷

解答 解：（1）初始狀態(tài)的電勢(shì)能為：W_e=qU₊+（-q）U_-=-3qELcosθ
（2）豎直方向的力矩平衡是兩重力方向都豎直向下但分居異側(cè)，所以等價(jià)力矩要相減；
而水平方向兩個(gè)電場(chǎng)力方向相反分居異側(cè)要相加；
那么平衡位置時(shí)，設(shè)小球質(zhì)量為m，合力矩為：
3qElsinα-mglcosα=0
由此得：$tanα=\frac{mg}{3qE}=\frac{\sqrt{3}}{3}$
解得：α=30°
（3）電勢(shì)能為零時(shí)，桿處于豎直位置，當(dāng)初始時(shí)OA與電場(chǎng)間夾角θ=150°時(shí)，A恰能到達(dá)O正上方，在此位置桿的角速度為0，
當(dāng)θ＜150°時(shí)，A位移O正下方的電勢(shì)能為零，初態(tài)有：W=-3qElcosθ
E_P=-mglsinθ
末態(tài)W′=0     E′_P=-mgl
由能量守恒有：$-3qElcosθ-mglsinθ=\frac{5}{2}m{l}^{2}{ω}^{2}-mgl$
$ω=\sqrt{\frac{2mg（1-sinθ）-6qEcosθ}{5ml}}=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}（1-sinθ）-6cosθ}{5\sqrt{3}l}g}$
當(dāng)θ≥150°時(shí)，電勢(shì)能為零的位置由兩處，即A位于O點(diǎn)正下方或正上方
在A位移O正下方時(shí)$ω=\sqrt{\frac{2\sqrt{3}（1-sinθ）-6cosθ}{5\sqrt{3}l}g}$
在A位于O正上方時(shí)$ω=\sqrt{\frac{-2mg（1-sinθ）-6qEcosθ}{5ml}}=\sqrt{\frac{-2\sqrt{3}（1-sinθ）-6cosθ}{5\sqrt{3}l}g}$
答：（1）初始狀態(tài)的電勢(shì)能W_e為-3qELcosθ
（2）桿在平衡位置時(shí)與電場(chǎng)間的夾角α為30°；
（3）桿在電勢(shì)能為零處的角速度ω為$\sqrt{\frac{2\sqrt{3}（1-sinθ）-6cosθ}{5\sqrt{3}l}g}$或$\sqrt{\frac{-2\sqrt{3}（1-sinθ）-6cosθ}{5\sqrt{3}l}g}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了電勢(shì)能和力矩，關(guān)鍵是抓住在任何位置能量守恒即可判斷