Question

8．科學家預測銀河系中所有行星的數(shù)量大概在2萬億-3萬億之間．日前在銀河系發(fā)現(xiàn)一顆類地行星，半徑是地球半徑的兩倍，質量是地球質量的三倍．衛(wèi)星a、b分別繞地球、類地行星做勻速圓周運動，它們距中心天體表面的高度均等于地球的半徑．則衛(wèi)星a、b的（　�。�

• A． 線速度之比為1：$\sqrt{3}$
• B． 角速度之比為3：$2\sqrt{2}$
• C． 周期之比為$2\sqrt{2}$：$\sqrt{3}$
• D． 加速度之比為4：3

Answer 1

分析 根據(jù)萬有引力等于向心力，分別求出兩衛(wèi)星線速度的表達式，再求解線速度之比．根據(jù)周期公式求周期之比．由向心加速度公式結合求向心加速度之比．

解答 解：根據(jù)萬有引力提供向心力得：$G\frac{Mm}{{r}^{2}}=m\frac{{v}^{2}}{r}=ma=m\frac{4{π}^{2}r}{{T}^{2}}=m{ω}^{2}r$得：
v=$\sqrt{\frac{GM}{r}}$，a=$\frac{GM}{{r}^{2}}$，T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{{r}^{3}}{GM}}$，$ω=\sqrt{\frac{GM}{{r}^{3}}}$，
A、衛(wèi)星a、b的線速度之比$\frac{{v}_{a}}{{v}_}=\frac{\sqrt{\frac{GM}{2r}}}{\sqrt{\frac{G•3M}{3r}}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$，故A錯誤；
B、衛(wèi)星a、b的角速度之比$\frac{{ω}_{a}}{{ω}_}=\frac{\sqrt{\frac{GM}{（2r）^{3}}}}{\sqrt{\frac{G•3M}{（3r）^{3}}}}=\frac{3}{2\sqrt{2}}$，故B正確；
C、衛(wèi)星a、b的周期之比$\frac{{T}_{a}}{{T}_}=\frac{2π\(zhòng)sqrt{\frac{（2r）^{3}}{GM}}}{\sqrt{\frac{（3r）^{3}}{G•3M}}}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，故C錯誤；
D、衛(wèi)星a、b的向心加速度之比$\frac{{v}_{a}}{{v}_}=\frac{\frac{GM}{（2r）^{2}}}{\frac{G•3M}{（3r）^{2}}}$=$\frac{3}{4}$，故D錯誤．
故選：B

點評 解決本題的關鍵要建立衛(wèi)星運動的模型，抓住萬有引力等于向心力這一思路，推導出線速度、周期等的表達式，難度適中．