Question

16．如圖（俯視圖），在汽車底部固定一個(gè)長(zhǎng)度L₁、寬度L₂的單匝矩形純電阻金屬線圈，線圈的總電阻為R，車和線圈的總質(zhì)量為m，假設(shè)汽車運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受阻力恒為f．在減速區(qū)域設(shè)置磁場(chǎng)如圖，開(kāi)始時(shí)，汽車以初速度v₀沖進(jìn)緩沖區(qū)域的左側(cè)，緩沖區(qū)域?qū)挾葹閐（d＞L₁）．緩沖區(qū)域內(nèi)有方向垂直線圈平面向上、大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，現(xiàn)調(diào)節(jié)汽車牽引力的功率，讓小車以大小為a的恒定加速度減速駛?cè)刖彌_區(qū)域，線圈全部進(jìn)入緩沖區(qū)域后，立即做勻速直線運(yùn)動(dòng)，直至完全離開(kāi)緩沖區(qū)域，整個(gè)過(guò)程中，牽引力做的總功為W．
（1）求線圈沖出磁場(chǎng)過(guò)程中，通過(guò)線圈橫截面的電量；
（2）寫(xiě)出線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中，牽引力的功率隨時(shí)間變化的關(guān)系式；
（3）線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中，線圈中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 （1）由電量的表達(dá)式：q=$\overline{I}$t和歐姆定律、法拉第電磁感應(yīng)定律結(jié)合求解電量．
（2）根據(jù)電磁感應(yīng)知識(shí)求得安培力，再由牛頓第二定律求出牽引力的大小，再由功率公式：P=Fv求解即可．
（3）分清運(yùn)動(dòng)形式，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出勻速直線運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，由焦耳定律求出勻速運(yùn)動(dòng)產(chǎn)生的焦耳熱，再結(jié)合能量守恒求解．

解答 解：（1）線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中，通過(guò)線圈的電量：q=$\overline{I}$t
根據(jù)閉合電路歐姆定律得：$\overline{I}$=$\frac{\overline{E}}{R}$
由法拉第電磁感應(yīng)定律得：$\overline{E}$=BL₂$\overline{v}$
聯(lián)立得 q=$\frac{B{L}_{2}\overline{v}}{R}$=$\frac{B{L}_{1}{L}_{2}}{R}$．
（2）線圈進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)速度為v時(shí)感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)：E=BL₂v
由歐姆定律得：I=$\frac{E}{R}$
故線圈受到的安培力：F_安=BIL₂=$\frac{{B}^{2}{L}_{2}^{2}v}{R}$
根據(jù)牛頓第二定律得：F-F_安-f=-ma
解得：F=f-ma+$\frac{{B}^{2}{L}_{2}^{2}v}{R}$
又因?yàn)榫�圈做勻減速運(yùn)動(dòng)，則有：v=v₀-at
結(jié)合功率公式：P=Fv
解得：P=（f-ma+$\frac{{B}^{2}{L}_{2}^{2}v}{R}$）（v₀-at）
（3）設(shè)線圈以恒定速度v出磁場(chǎng)，有運(yùn)動(dòng)學(xué)公式：v²-${v}_{0}^{2}$=2aL₁
得：v=$\sqrt{{v}_{0}^{2}-2a{L}_{1}}$
運(yùn)動(dòng)時(shí)間為：t=$\frac{{L}_{1}}{v}$
產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為：E=BL₂v
感應(yīng)電流為：I=$\frac{E}{R}$
由焦耳定律得：產(chǎn)生的熱量 Q_出=I²Rt
由能量守恒定律得：W=$\frac{1}{2}$mv²+f（d+L₁）+Q_進(jìn)+Q_出
解得：Q_進(jìn)=W-$\frac{1}{2}$m（${v}_{0}^{2}$-2aL₁）-f（d+L₁）-$\frac{{B}^{2}{L}_{2}^{2}{L}_{1}\sqrt{{v}_{0}^{2}-2a{L}_{1}}}{R}$
答：
（1）線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中，通過(guò)線圈橫截面的電量為$\frac{B{L}_{1}{L}_{2}}{R}$．
（2）牽引力的功率隨時(shí)間變化的關(guān)系式為：P=（f+ma+$\frac{{B}^{2}{L}_{2}^{2}v}{R}$）（v₀-at）．
（3）線圈進(jìn)入磁場(chǎng)過(guò)程中，線圈中產(chǎn)生的焦耳熱為W-$\frac{1}{2}$m（${v}_{0}^{2}$-2aL₁）-f（d+L₁）-$\frac{{B}^{2}{L}_{2}^{2}{L}_{1}\sqrt{{v}_{0}^{2}-2a{L}_{1}}}{R}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是力學(xué)電學(xué)相結(jié)合的綜合題，分析和求安培力是關(guān)鍵，還要正確分析能量是如何轉(zhuǎn)化的，分清運(yùn)動(dòng)過(guò)程合理的運(yùn)用公式求解即可．