Question

【題目】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系，xOy的平面內(nèi)，有一個(gè)半徑為R，圓心坐標(biāo)（0，－3R）的圓形區(qū)域，該區(qū)域內(nèi)存在著磁感應(yīng)強(qiáng)度為、方向垂直坐標(biāo)平面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)；有一對(duì)平行電極板垂直于x軸且關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)放置，極板AB、CD的長(zhǎng)度和兩板間距均為2R，極板的兩個(gè)端點(diǎn)B和D位于x軸上，AB板帶正電，CD板帶負(fù)電。在的區(qū)域內(nèi)有垂直于坐標(biāo)平面向里的磁感應(yīng)強(qiáng)度為（未知）的勻強(qiáng)磁場(chǎng)�，F(xiàn)有一坐標(biāo)在（R，－3R）的電子源能在坐標(biāo)平面內(nèi)向圓形區(qū)域磁場(chǎng)內(nèi)連續(xù)不斷發(fā)射速率均為、方向與y軸正方形夾角為θ（θ可在0內(nèi)變化）的電子。已知電子的電荷量大小為e，質(zhì)量為m，不計(jì)電子重力及電子間的相互作用，兩極板之間的電場(chǎng)看成勻強(qiáng)電場(chǎng)且忽略極板的邊緣效應(yīng)。電子若打在AB極板上則即刻被導(dǎo)走且不改變?cè)�電�?chǎng)分布；若不考慮電子經(jīng)過(guò)第一、二象限的磁場(chǎng)后的后續(xù)運(yùn)動(dòng)。求：

(1)電子進(jìn)入圓形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的偏轉(zhuǎn)半徑；

(2)若從發(fā)射的電子能夠經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，則兩極板間電壓為多大？

(3)若，將兩極板間的電壓調(diào)整為第（1）問(wèn)中電壓的兩倍（兩極板極性不變），電子的發(fā)射方向不變，求電子從邊界處的哪一位置離開(kāi)磁場(chǎng)？

(4)若，兩極板間的電壓大小可以從0開(kāi)始調(diào)節(jié)（兩極板極性不變），則θ在哪個(gè)范圍內(nèi)發(fā)射進(jìn)入的電子最終能夠擊中（3R，0）點(diǎn)？并求出這些電子在區(qū)域內(nèi)運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間。（結(jié)果可用反三角函數(shù)表示，例如，則α可表示為arctan2）

Answer 1

【答案】(1)R(2)(3)(4)

【解析】

(1)電子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，則有

解得

(2)根據(jù)幾何關(guān)系可得：電子離開(kāi)圓形磁場(chǎng)時(shí)的速度方向豎直向上，那么，電子運(yùn)動(dòng)到O點(diǎn)的軌跡如圖所示

電子在極板間運(yùn)動(dòng)只受電場(chǎng)力作用，故電子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)，加速度

豎直位移為2R，水平位移為

故有

所以，兩極板間電壓

(3)將兩極板間的電壓調(diào)整為第（1）問(wèn)中電壓的兩倍，電子做類(lèi)平拋運(yùn)動(dòng)的加速度變?yōu)樵瓉?lái)的2倍，電子在兩板間運(yùn)動(dòng)時(shí)間不為，由公式可知，水平位移變?yōu)樵瓉?lái)的兩倍，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，速度反向延長(zhǎng)線(xiàn)過(guò)豎直位移的中點(diǎn)可知，粒子進(jìn)入磁場(chǎng)B2的方向與x軸負(fù)方向成角，即在坐標(biāo)原點(diǎn)左側(cè)處射入磁場(chǎng)，磁場(chǎng)變?yōu)樵瓉?lái)的，半徑變?yōu)樵瓉?lái)的3倍，由數(shù)學(xué)知識(shí)可得，弦長(zhǎng)

所以出射點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)右側(cè)離坐標(biāo)原點(diǎn)的距離為

(4)設(shè)電子進(jìn)入y≥0區(qū)域時(shí)的速度為v，到F的距離為2d，粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為r；則豎直分量為v0；由幾何關(guān)系可得

根據(jù)洛倫茲力做向心力可得

所以

故

故從

處離開(kāi)電場(chǎng)的電子可以擊中收集板的右端點(diǎn)F；又有兩極板間的電壓大小可以從0開(kāi)始調(diào)節(jié)，電子進(jìn)入電場(chǎng)時(shí)的速度豎直向上，在電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)向左偏轉(zhuǎn)；所以，離開(kāi)圓形磁場(chǎng)區(qū)域時(shí)的x軸坐標(biāo)在范圍內(nèi)的電阻可以擊中收集板的右端點(diǎn)F，根據(jù)電子在圓形磁場(chǎng)區(qū)域的軌道半徑為R，由幾何關(guān)系可得