Question

14．如圖所示，A、B是水平傳送帶的兩個端點，起初以v₀=1m/s的速度順時針運轉(zhuǎn)．今將一小物塊（可視為質(zhì)點）無初速度地輕放在A處，同時傳送帶以a₀=1m/s²的加速度加速運轉(zhuǎn)，物體和傳送帶間的動摩擦因素為0.2，水平桌面右側(cè)有一豎直放置的光滑軌道CPN，其形狀為半徑R=0.8m的圓環(huán)剪去了左上角135⁰的圓弧，PN為其豎直直徑，C點與B點的豎直距離為R，物體離開傳送帶后由C點恰好無碰撞落入軌道．取g=10m/s²，求：

（1）物塊由A端運動倒B端所經(jīng)歷的時間．
（2）AC間的水平距離
（3）判斷物體能否沿圓軌道到達N點．

Answer 1

分析 解決此題的關(guān)鍵是抓住過程分析及各過程之間的聯(lián)系．物體剛放上傳送帶時，先加速后再與傳送帶一起加速，然后做平拋運動，物體離開傳送帶后由C點無碰撞落入軌道，則得在C點物體的速度方向與C點相切，與豎直方向成45°，物體能到達N點的速度要求在N點重力提供向心力，對于從C到N由機械能守恒求解．

解答 解：（1）物體離開傳送帶后由C點無碰撞落入軌道，則得在C點物體的速度方向與C點相切，與豎直方向成45°，有v_cx=v_cy，
物體從B點到C作平拋運動，豎直方向：$R=\frac{1}{2}gt_3^2$
v_cy=gt₃
水平方向：x_BC=v_Bt₃（v_B=v_cx）
得出v_B=v_cx=v_cy=4m/s
${v_c}=\sqrt{2}v{\;}_B=4\sqrt{2}m/s$
物體剛放上傳送帶時，由牛頓第二定律有：μmg=ma
得：a=2m/s²
物體歷時t₁后與傳送帶共速，則有：at₁=v₀+a ₀t₁，
t₁=1s
得：v₁=2 m/s＜4 m/s
故物體此時速度還沒有達到v_B，且此后的過程中由于a₀＜μg，物體將和傳送帶以共同的加速度運動，設(shè)又歷時t₂到達B點
v_B=v₁+a ₀t₂
得：t₂=2s
所以從A運動倒B的時間為：t=t₁+t₂=3s
  AB間的距離為：s=$\frac{1}{2}at_1^2+a{t_1}{t_2}+\frac{1}{2}{a_0}t_2^2$=7m
（2）從B到C的水平距離為：s_BC=v_Bt₃=2R=1.6m
所以A到C的水平距離為：s_AC=s+s_BC=8.6m
（3）物體能到達N點的速度要求：mg=$\frac{{mv}_{N}^{2}}{R}$
解得：${v}_{N}=\sqrt{gR}$=$\sqrt{8}$m/s
對于小物塊從C到N點，設(shè)能夠到達N位置且速度為v′_N，由機械能守恒得：$\frac{1}{2}$${mv}_{C}^{2}$=$mgR（1+\frac{\sqrt{2}}{2}）+\frac{1}{2}$${mv′}_{N}^{2}$
解得：v′_N=$\sqrt{4.8}m/s$＜v_N
故物體不能到達N點．
答：（1）物塊由A端運動倒B端所經(jīng)歷的時間為3s．
（2）AC間的水平距離為8.6m
（3）物體不能沿圓軌道到達N點．

點評 解決此題的關(guān)鍵是抓住過程分析及各過程之間的聯(lián)系，分過程依次解決，對于在傳送到上的運動又要討論各種情況，比較復雜；對于圓周運動問題逐一分析向心力來源．有一定難度．