Question

18．宇航員在某半徑為R的星球表面以一定的初速度豎直上拋一個小球，小球經(jīng)時間t落回拋出點，然后宇航員又在其高h處，以大小相同的速度沿水平方向拋出一小球，測出拋出點與落地點之間的水平距離為L，已知引力常量為G．
（1）求該星球的質(zhì)量M．
（2）欲使小球不再落回星球的表面，至少應以多大的速度拋出該小球？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)小球豎直上拋運動和平拋運動規(guī)律求得星球表面的重力加速度，再根據(jù)萬有引力與重力相等求得該星球的半徑；
（2）根據(jù)萬有引力提供圓周運動向心力求得該星球上的第一宇宙速度．

解答 解：（1）令小球上拋的初速度為v，則根據(jù)豎直上拋有：
$\frac{2v}{g}=t$①
由平拋運動規(guī)律有：
$v\sqrt{\frac{2h}{g}}=L$②
由①②兩式解得，$g=\frac{2{L}_{\;}^{2}}{h{t}_{\;}^{2}}$
在星球表面重力與萬有引力相等有：
$G\frac{Mm}{{R}_{\;}^{2}}=mg$
解得星球質(zhì)量$M=\frac{g{R}_{\;}^{2}}{G}=\frac{2{L}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{Gh{t}_{\;}^{2}}$
（2）欲使小球不再落回星球的表面，拋射速度即第一宇宙速度
$mg=m\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
解得：${v}_{1}^{\;}=\sqrt{gR}=\sqrt{\frac{2{L}_{\;}^{2}R}{h{t}_{\;}^{2}}}$
答：（1）求該星球的質(zhì)量M為$\frac{2{L}_{\;}^{2}{R}_{\;}^{2}}{Gh{t}_{\;}^{2}}$．
（2）欲使小球不再落回星球的表面，至少應速度$\sqrt{\frac{2{L}_{\;}^{2}R}{h{t}_{\;}^{2}}}$拋出該小球

點評 解決問題的關鍵手點是在星球表面重力與萬有引力相等，萬有引力提供環(huán)繞天體圓周運動的向心力，難在與豎直上拋運動和平拋運動的綜合，考查知識點較多．