Question

11．如圖所示，豎直固定放置的粗糙斜面AB下端與光滑的圓弧軌道BCD在B點(diǎn)相切，圓弧軌道的半徑為R，圓心O與A、D在同一水平面上，C點(diǎn)為圓弧軌道最低點(diǎn)，∠COB=45°．現(xiàn)使一質(zhì)量為m的小物塊從D點(diǎn)無初速度地釋放，小物塊與粗糙斜面AB間的動摩擦因數(shù)μ＜tanθ，則關(guān)于小物塊的運(yùn)動情況，下列說法正確的是（　�。�

• A． 小物塊可能運(yùn)動到A點(diǎn)
• B． 小物塊最終將停在C點(diǎn)
• C． 小物塊通過圓弧軌道最低點(diǎn)C時，對C點(diǎn)的最大壓力為3mg
• D． 小物塊通過圓弧軌道最低點(diǎn)C時，對C點(diǎn)的最小壓力為（2-$\sqrt{2}$）mg

Answer 1

分析 由幾何知識得知，斜面的傾角等于30°．物體從A點(diǎn)無初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，物體在斜面上運(yùn)動時機(jī)械能不斷減小，到達(dá)的最大高度越來越小，最終在BE圓弧上來回運(yùn)動，到達(dá)B點(diǎn)的速度為零．
當(dāng)物體第一次經(jīng)過C點(diǎn)時，速度最大，對C點(diǎn)的壓力最大，當(dāng)最后穩(wěn)定后，物體在BE之間運(yùn)動時，經(jīng)過C點(diǎn)時速度最小，物體對C點(diǎn)的壓力最小，根據(jù)動能定理求出最大速度和最小速度，再由牛頓運(yùn)動定律求解最大壓力和最小壓力．

解答 解：AB、物體從A點(diǎn)無初速度滑下后，由于克服摩擦力做功，所以物體在斜面上運(yùn)動時機(jī)械能不斷減小，在斜面上升的最大高度越來越小，不可能運(yùn)動到A點(diǎn)，最終在BE圓弧上來回運(yùn)動，到達(dá)B點(diǎn)的速度為零．故AB錯誤．
CD、物塊第一次運(yùn)動到C時速度最大，對軌道的壓力最大．物塊從D第一次運(yùn)動到C過程，由動能定理得：
  mgR=$\frac{1}{2}m{v}_{1}^{2}$
設(shè)此時軌道對物體的支持力F₁，由牛頓第二定律得：
  F₁-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F₁=3mg，由牛頓第三定律知物塊對C點(diǎn)的最大壓力為3mg．故C正確．
當(dāng)最后穩(wěn)定后，物體在BE之間運(yùn)動時，設(shè)物體經(jīng)過C點(diǎn)的速度為v₂，由動能定理得：
  mgR（1-cosθ）=$\frac{1}{2}m{v}_{2}^{2}$
設(shè)軌道對物體的支持力F₂，由牛頓第二定律得：
  F₂-mg=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得：F₂=3mg-2mgcosθ=（3-$\sqrt{2}$）mg
由牛頓第三定律可知，物體對C點(diǎn)的最小壓力為（3-$\sqrt{2}$）mg．故D錯誤．
故選：C

點(diǎn)評 本題是動能定理與牛頓運(yùn)動定律的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析物體的運(yùn)動過程，明確C點(diǎn)圓周運(yùn)動的向心力的來源：合力．