Question

6．如圖所示，質量分別為m₁，m₂的光滑小球放在上表面光滑的半球上，受到在用一平面內長分別為l₁，l₂的輕繩的牽引（已知l₁，l₂與O′O的夾角分別為α和β，且α＞β），在半球球心O點正上方的轉盤O′的帶動下做勻速圓周運動，為使兩球都不離開半球，求轉盤O′轉動的角速度．

Answer 1

分析 設當轉盤的角速度為ω₁時，小球m₁與半球的作用力剛好為零，則對小球m₁由牛頓第二定律求出ω₁，同理求出ω₂，根據(jù)幾何關系判斷ω₁和ω₂的大小關系，從而求解為使兩球都不離開半球，轉盤的轉動角速度的范圍．

解答 解：設當轉盤的角速度為ω₁時，小球m₁與半球的作用力剛好為零，則對小球m₁由牛頓第二定律得：
${m}_{1}gtanα={m}_{1}{l}_{1}{{ω}_{1}}^{2}sinα$
解得：${ω}_{1}=\sqrt{\frac{g}{{l}_{1}cosα}}$
設當轉盤的角速度為ω₂時，小球m₂與半球的作用力剛好為零，則對小球m₂由牛頓第二定律得：
${m}_{2}gtanβ={m}_{2}{l}_{2}{{ω}_{2}}^{2}sinβ$
解得：${ω}_{2}=\sqrt{\frac{g}{{l}_{2}cosβ}}$
由于α＞β，由幾何知識可知，l₁cosα＞l₂cosβ，所以ω₁＜ω₂
故為使兩球都不離開半球，轉盤的轉動角速度ω≤ω₁，即$ω≤\sqrt{\frac{g}{{l}_{1}cosα}}$
答：轉盤O′轉動的角速度應小于等于$\sqrt{\frac{g}{{l}_{1}cosα}}$．

點評 本題的關鍵是根據(jù)牛頓第二定律求出兩個小球剛好不離開半球的臨界狀態(tài)，知道當小球與半球的作用力剛好為零時，剛好不離開，并能結合幾何關系求解，難度適中．