Question

10．宇宙中存在一些質量相等且離其他恒星較遠的四顆星組成的四星系統(tǒng)，通�？珊雎云渌求w對它們的引力作用．設四星系統(tǒng)中每個星體的質量均為m，半徑均為R，四顆星穩(wěn)定分布在邊長為L的正方形的四個頂點上，其中L遠大于R．已知萬有引力常量為G．忽略星體自轉效應，關于四星系統(tǒng)，下列說法正確的是（　�。�

• A． 四顆星圓周運動的軌道半徑均為$\frac{L}{2}$
• B． 四顆星圓周運動的線速度均為 $\sqrt{\frac{Gm}{L}（2+\frac{\sqrt{2}}{4}）}$
• C． 四顆星圓周運動的周期均為2π $\sqrt{\frac{2{L}^{3}}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$
• D． 四顆星表面的重力加速度均為G$\frac{m}{{R}^{2}}$

Answer 1

分析 在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力，根據(jù)合力提供向心力，求出星體勻速圓周運動的線速度和周期．
根據(jù)萬有引力等于重力，求出星體表面的重力加速度．

解答 解：A、任一顆星體在其他三個星體的萬有引力作用下，合力方向指向對角線的交點，圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，任一星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，軌道半徑均：r=$\frac{\sqrt{2}}{2}$L，故A錯誤．
B、星體在其他三個星體的萬有引力作用下圍繞正方形對角線的交點做勻速圓周運動，由萬有引力定律和向心力公式得：G$\frac{{m}^{2}}{（\sqrt{2}L）^{2}}$+G$\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}$cos45°=m$\frac{{v}^{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}L}$，解得：v=$\sqrt{\frac{（4+\sqrt{2}）Gm}{4L}}$，故B錯誤；
C、由牛頓第二定律得：G$\frac{{m}^{2}}{（\sqrt{2}L）^{2}}$+G$\frac{{m}^{2}}{{L}^{2}}$cos45°=m$（\frac{2π}{T}）^{2}$•$\frac{\sqrt{2}L}{2}$，解得：T=2π$\sqrt{\frac{2{L}^{3}}{（4+\sqrt{2}）Gm}}$，故C正確；
D、星球表面的物體受到的萬有引力等于它受到的重力，即：G$\frac{mm′}{{R}^{2}}$=m′g，解得：g=$\frac{Gm}{{R}^{2}}$，故D正確；
故選：CD．

點評 本題考查了萬有引力定律的應用，解決本題的關鍵掌握萬有引力等于重力，以及知道在四顆星組成的四星系統(tǒng)中，其中任意一顆星受到其它三顆星對它的合力提供圓周運動的向心力．