Question

【題目】一質(zhì)量M=2kg的長木板B靜止在光滑的水平面上，B的右端與豎直擋板的距離為S=0.5m．一個(gè)質(zhì)量為m=1kg的小物體A以初速度v0=6m/s從B的左端水平滑上B，當(dāng)B與豎直擋板每次碰撞時(shí)，A都沒有到達(dá)B的右端．
設(shè)定物體A可視為質(zhì)點(diǎn)，A、B間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.2，B與豎直擋板碰撞時(shí)間極短且碰撞過程中無機(jī)械能損失，g取10m/s2 ． 求：

（1）B與豎直擋板第一次碰撞前的瞬間，A、B的速度值各是多少？
（2）最后要使A不從B上滑下，木板B的長度至少是多少？（最后結(jié)果保留三位有效數(shù)字．）

Answer 1

【答案】
（1）解：設(shè)A、B達(dá)到共同速度為v1時(shí)，B向右運(yùn)動(dòng)距離為S1

由動(dòng)量守恒定律有：mv0=（M+m）v1

由動(dòng)能定理有：

聯(lián)立解得：S1= = m=2m

由于S=0.5m＜2m，可知B與擋板碰撞時(shí)，A、B還未達(dá)到共同速度．設(shè)B與擋板碰撞前瞬間A的速度為vA，B的速度為vB，則

由動(dòng)量守恒定律有：mv0=mvA+MvB

由動(dòng)能定理有：

聯(lián)立解得：vA=4m/s、vB=1m/s

答：B與豎直擋板第一次碰撞前的瞬間，A、B的速度值分別是4m/s、1m/s．

（2）解：B與擋板第一次碰后向左減速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)B速度減為零時(shí)，B向左運(yùn)動(dòng)的距離設(shè)為SB，由動(dòng)能定理有：

由上式解得：SB=0.5m

在A的作用下B再次反向向右運(yùn)動(dòng)，設(shè)當(dāng)A、B向右運(yùn)動(dòng)達(dá)到共同速度v2時(shí)B向右運(yùn)動(dòng)距離為S2，由動(dòng)量守恒定律有：mvA﹣MvB=（M+m）v2

由動(dòng)能定理有：

解得： 、

故A、B以共同速度 向右運(yùn)動(dòng)，B第二次與擋板碰撞后，以原速率反彈向左運(yùn)動(dòng)．此后由于系統(tǒng)的總動(dòng)量向左，故最后A、B將以共同速度v3向左勻速運(yùn)動(dòng)．

由動(dòng)量守恒定律有：（M﹣m）v2=（M+m）v3

解得：

設(shè)A在B上運(yùn)動(dòng)的總量程為L（即木板B的最小長度），由系統(tǒng)功能關(guān)系得：

代入數(shù)據(jù)解得：L=8.96m

答：最后要使A不從B上滑下，木板B的長度至少是8.96m．

【解析】（1）A在B上滑動(dòng)時(shí)，以AB整體為研究對(duì)象可知，AB組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，由此可以求出AB速度相等時(shí)的速度；對(duì)B，運(yùn)用動(dòng)能定理可求出此過程滑行的位移，即可判斷出B與擋板碰撞時(shí)，A、B還未達(dá)到共同速度．再對(duì)系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量守恒和對(duì)B運(yùn)用動(dòng)能定理分別列式，即可求得B與豎直擋板第一次碰撞前的瞬間A、B的速度值．（2）B與擋板第一次碰后向左減速運(yùn)動(dòng)，由動(dòng)能定理可求得向左運(yùn)動(dòng)的最大距離．在A的作用下B再次反向向右運(yùn)動(dòng)，可達(dá)到共同速度，由系統(tǒng)的動(dòng)量守恒求出共同速度．當(dāng)B第二次與擋板碰撞后，B的速度立即反向，而A將繼續(xù)向右運(yùn)動(dòng)，此后由于系統(tǒng)的總動(dòng)量向左，最后A、B將以共同速度v3向左勻速運(yùn)動(dòng)．再運(yùn)用動(dòng)量守恒和能量守恒求出A在B上運(yùn)動(dòng)的總路程，就是木板B最小的長度．
【考點(diǎn)精析】解答此題的關(guān)鍵在于理解動(dòng)能定理的綜合應(yīng)用的相關(guān)知識(shí)，掌握應(yīng)用動(dòng)能定理只考慮初、末狀態(tài)，沒有守恒條件的限制，也不受力的性質(zhì)和物理過程的變化的影響.所以，凡涉及力和位移，而不涉及力的作用時(shí)間的動(dòng)力學(xué)問題，都可以用動(dòng)能定理分析和解答，而且一般都比用牛頓運(yùn)動(dòng)定律和機(jī)械能守恒定律簡捷，以及對(duì)動(dòng)量守恒定律的理解，了解動(dòng)量守恒定律成立的條件：系統(tǒng)不受外力或系統(tǒng)所受外力的合力為零；系統(tǒng)所受的外力的合力雖不為零，但系統(tǒng)外力比內(nèi)力小得多；系統(tǒng)所受外力的合力雖不為零，但在某個(gè)方向上的分量為零，則在該方向上系統(tǒng)的總動(dòng)量的分量保持不變．