Question

17．如圖所示，兩根豎直固定放置的無限長光滑金屬導軌，電阻不計，寬度為L，上端接有電阻R₀，導軌上接觸良好地緊貼一質量為m、有效電阻為R的金屬桿ab，R=2R₀．整個裝置處于垂直于導軌平面的勻強磁場中，金屬桿ab由靜止開始下落，下落距離為h時重力的功率剛好達到最大，設重力的最大功率為P．求：
（1）磁感應強度B的大小．
（2）金屬桿從開始下落到重力的功率剛好達到最大的過程中，電阻R₀產生的熱量．

Answer 1

分析 （1）金屬桿ab重力的功率剛好達到最大時速度最大，做勻速運動，根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律和安培力得到安培力的表達式，由公式P=Fv，得到安培力，再由平衡條件求解．
（2）運用能量守恒定律列式，求出金屬棒從靜止開始下降高度h過程中產生的總熱量，再求解R₀產生的熱量．

解答 解：（1）重力功率最大即金屬棒的速度最大時，設金屬棒下落的最大速度為v_m，有 P=mgv_m，
得：v_m=$\frac{P}{mg}$…①
此時，ab棒受到的安培力等于重力，即：F_安=mg…②
又F_安=BIL…③
 I=$\frac{E}{{R}_{0}+R}$…④
 E=BLv_m…⑤
由①②③④⑤式得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}{v}_{m}}{3{R}_{0}}$=mg…⑥
由①⑥式得：B=$\frac{mg}{L}$$\sqrt{\frac{3{R}_{0}}{P}}$．
（2）據能量守恒定律，金屬棒從靜止開始下降高度h過程中有：
mgh=Q+$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$
則有：Q=mgh-$\frac{1}{2}m{v}_{m}^{2}$…⑦
由①⑦兩式得：Q=mgh-$\frac{{P}^{2}}{2m{g}^{2}}$…⑧
而R₀上產生的熱量 Q′=$\frac{1}{3}Q$…⑨
由⑧⑨兩式得：Q′=$\frac{2{m}^{2}{g}^{3}h-{P}^{2}}{6m{g}^{2}}$
答：（1）磁感應強度B的大小是$\frac{mg}{L}$$\sqrt{\frac{3{R}_{0}}{P}}$．
（2）金屬桿從開始下落到重力的功率剛好達到最大的過程中，電阻R₀產生的熱量是$\frac{2{m}^{2}{g}^{3}h-{P}^{2}}{6m{g}^{2}}$．

點評 當桿做勻速運動時速度最大，應用平衡條件、安培力公式、能量守恒定律即可正確解題．分析清楚桿的運動過程，要明確桿做勻速運動時速度最大．