Question

19．如圖所示，半徑為R的半球形陶罐，固定在可以繞豎直軸旋轉(zhuǎn)的水平轉(zhuǎn)臺上，轉(zhuǎn)臺轉(zhuǎn)軸與過陶罐球心O的對稱軸OO′重合，轉(zhuǎn)臺以一定角速度ω勻速旋轉(zhuǎn)，一質(zhì)量為m的小物塊落入陶罐內(nèi)，經(jīng)過一段時間后，小物塊隨陶罐一起轉(zhuǎn)動且相對罐壁靜止，它和O點的連線與OO′之間的夾角θ為60°．已知重力加速度大小為g，小物塊與陶罐之間的最大靜摩擦力大小為F_f=$\frac{\sqrt{3}}{4}$mg．
（1）若小物塊受到的摩擦力恰好為零，求此時的角速度ω₀；
（2）若小物塊一直相對陶罐靜止，求陶罐旋轉(zhuǎn)的角速度的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）小物塊受到的摩擦力恰好為零，靠重力和支持力的合力提供向心力，根據(jù)牛頓第二定律，結(jié)合角速度的大小，通過幾何關(guān)系求出小物塊離陶罐部的高度h；
（2）當(dāng)ω＞ω₀時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，當(dāng)角速度最大時，摩擦力方向沿罐壁切線向下達(dá)最大值，根據(jù)牛頓第二定律及平衡條件求解最大角速度，當(dāng)ω＜ω₀時，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向上，當(dāng)角速度最小時，摩擦力向上達(dá)到最大值，根據(jù)牛頓第二定律及平衡條件求解最小值．

解答 解：（1）當(dāng)摩擦力為零，支持力和重力的合力提供向心力，有：$mgtanθ=mRsinθω_0^2$
解得：${ω_0}=\sqrt{\frac{2g}{R}}$
（2）當(dāng)ω＞ω₀時，重力和支持力的合力不夠提供向心力，當(dāng)角速度最大時，摩擦力方向沿罐壁切線向下達(dá)最大值，設(shè)此最大角速度為ω₁，
由牛頓第二定律得，${F_f}cos60°+{F_N}cos30°=mRsin60°ω_1^2$
F_fsin60°+mg=F_Nsin30°
聯(lián)立以上三式解得：${ω_1}=\sqrt{\frac{3g}{R}}$
當(dāng)ω＜ω₀時，重力和支持力的合力大于所需向心力，摩擦力方向沿罐壁切線向上，當(dāng)角速度最小時，摩擦力向上達(dá)到最大值，設(shè)此最小角速度為ω₂
由牛頓第二定律得，${F_N}cos30°-{F_f}cos60°=mRsin60°ω_2^2$
mg=F_Nsin30°+F_fsin60°
聯(lián)立三式解得        ${ω_2}=\sqrt{\frac{g}{R}}$，
綜述，陶罐旋轉(zhuǎn)的角速度范圍為$\sqrt{\frac{g}{R}}≤ω≤\sqrt{\frac{3g}{R}}$
答：（1）若小物塊受到的摩擦力恰好為零，求此時的角速度為$\sqrt{\frac{2g}{R}}$；
（2）若小物塊一直相對陶罐靜止，陶罐旋轉(zhuǎn)的角速度的取值范圍為$\sqrt{\frac{g}{R}}≤ω≤\sqrt{\frac{3g}{R}}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵搞清物塊做圓周運動向心力的來源，結(jié)合牛頓第二定律，抓住豎直方向上合力為零，水平方向上的合力提供向心力進(jìn)行求解，難度適中．