Question

19．若金星和地球的公轉(zhuǎn)軌道均視為圓形，且在同一平面內(nèi)，如圖所示．在地球上觀(guān)測(cè)，發(fā)現(xiàn)金星與太陽(yáng)可呈現(xiàn)的視角（太陽(yáng)與金星均視為質(zhì)點(diǎn)，它們與眼睛連線(xiàn)的夾角）有最大值，最大視角的正弦值為k，則金星的公轉(zhuǎn)周期為（　　）

• A． $（1-{k}^{2}）^{\frac{3}{2}}$年
• B． $（1-{k}^{2}）^{\frac{3}{4}}$年
• C． k³年
• D． $\sqrt{{k}^{3}}$年

Answer 1

分析 根據(jù)幾何關(guān)系求出金星的軌道半徑和地球的軌道半徑的關(guān)系，根據(jù)開(kāi)普勒第三定律，得出金星的公轉(zhuǎn)周期

解答 解：金星與太陽(yáng)的最大視角出現(xiàn)的情況是地球上的人的視線(xiàn)看金星時(shí)，視線(xiàn)與金星的軌道相切，如圖所示．θ為最大視角，由圖可知
$sinθ=\frac{{r}_{金}^{\;}}{{r}_{地}^{\;}}$
根據(jù)題意，最大正弦值為k，則有：
$\frac{{r}_{金}^{\;}}{{r}_{地}^{\;}}=k$
根據(jù)開(kāi)普勒第三定律有：$\frac{{r}_{金}^{3}}{{r}_{地}^{3}}=\frac{{T}_{金}^{2}}{{T}_{地}^{2}}$
聯(lián)立以上幾式得：$\frac{{T}_{金}^{2}}{{T}_{地}^{2}}={k}_{\;}^{3}$
解得：${T}_{金}^{\;}=\sqrt{{k}_{\;}^{3}}{T}_{地}^{\;}=\sqrt{{k}_{\;}^{3}}$，D正確，ABC錯(cuò)誤；
故選：D

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握萬(wàn)有引力提供向心力這一理論，本題對(duì)數(shù)學(xué)能力要求較高，需加強(qiáng)訓(xùn)練