Question

7．隨著人類對月球的不斷探則，人類對月球有了更多的認識．假設宇航員乘坐“嫦娥N號”到達月球，宇航員在月球赤遁上測得一質量為m的物體的重力為F₁．在月球兩極測量同一物體時其重力為F₂．
（1）若忽略月球自轉對重力的影響，則月球赤道對應的月球半徑與兩極處對應的月球半徑之比為多大？
（2）若月球的自轉不可忽略，同時將月球看成半徑為R的球體，則月球自轉的周期多大？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)萬有引力等于重力由$F=G\frac{mM}{{R}^{2}}$，代入數(shù)值計算可得；
（2）月球是球體，則物體在兩極與赤道處的重力差即為物體隨月球自轉時的向心力，據(jù)此求得月球自轉的周期即可．

解答 解：（1）由題意可得重力等于萬有引力所以有：
在赤道上有：${F}_{1}=G\frac{mM}{{R}_{1}^{2}}$     ①
在兩極有：${F}_{2}=G\frac{mM}{{R}_{2}^{2}}$       ②
所以由①②兩式可得：$\frac{{R}_{1}}{{R}_{2}}$=$\sqrt{\frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}}$
（2）在赤道上物體隨月球自轉，重力與萬有引力之差提供物體自轉的向心力，在兩極處物體自轉的向心力為零，故重力與萬有引力相等，所以有：
${F}_{2}-{F}_{1}=mR\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$
可得月球自轉的周期T=$2π\(zhòng)sqrt{\frac{mR}{{F}_{2}-{F}_{1}}}$
答：（1）若忽略月球自轉對重力的影響，則月球赤道對應的月球半徑與兩極處對應的月球半徑之比為$\sqrt{\frac{{F}_{2}}{{F}_{1}}}$；
（2）若月球的自轉不可忽略，同時將月球看成半徑為R的球體，則月球自轉的周期為$2π\(zhòng)sqrt{\frac{mR}{{F}_{2}-{F}_{1}}}$．

點評 忽略月球自轉對重力的影響，重力等于萬有引力，理解萬有引力定律的公式，考慮月球自轉時，赤道與兩極處的重力差即為隨月球圓周運動的向心力．