Question

1．如圖所示，一日字形導(dǎo)體框位于一勻強(qiáng)磁場(chǎng)上方l處，其中導(dǎo)體棒AB、CD、EF質(zhì)量均為m、電阻均為R、長(zhǎng)均為l，其它電阻不計(jì)，導(dǎo)體棒AC、BD的質(zhì)量忽略不計(jì)，其長(zhǎng)度為2l，水平方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，磁場(chǎng)寬度為2l，虛線MN、PQ為磁場(chǎng)邊界，某時(shí)刻起線框由靜止釋放，當(dāng)EF進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)，線框剛好開(kāi)始做勻速運(yùn)動(dòng)，則：
（1）導(dǎo)體棒CD剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)線框加速度的大��？
（2）線框勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的大小？
（3）從開(kāi)始到線框勻速運(yùn)動(dòng)結(jié)束的過(guò)程中導(dǎo)體棒EF所產(chǎn)生的熱量？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)動(dòng)能定理求出CD邊剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)的速度；
（2）勻速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，CD邊與EF邊切割磁感線，并受到安培力的作用，由平衡條件列方程求出電流強(qiáng)度，然后結(jié)合閉合電路的歐姆定律和法拉第電磁感應(yīng)定律即可求出磁場(chǎng)強(qiáng)度；
（3）分析當(dāng)線框每條邊切割磁感線時(shí)的等效電路，確定切割的邊為電源，求出每條邊切割磁感線的時(shí)間，然后由焦耳定律求出EF邊發(fā)產(chǎn)生的焦耳熱．

解答 解：（1）下落的過(guò)程中重力做功，由動(dòng)能定理，$3mgl=\frac{1}{2}•3m•{v}_{0}^{2}$
得：${v}_{0}=\sqrt{2gl}$
產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)：E₁=BLv₀
R_總=R+$\frac{1}{2}$R
感應(yīng)電流：$I=\frac{E}{{R}_{總}(cāng)}=\frac{2BL{v}_{0}}{3R}$
產(chǎn)生的安培力：F=BIL
加速度：$a=\frac{3mg-F}{3m}=\frac{3mg-\frac{2{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gL}}{3R}}{3m}$
（2）當(dāng)線框勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD邊與EF邊切割磁感線，等效電路如圖，
對(duì)電路，E₂=Blv
R_總′=R+$\frac{1}{2}$R
${I}_{總}(cāng)=\frac{{E}_{2}}{{R}_{總}(cāng)′}=\frac{2Blv}{3R}$
EF邊與CD邊受到的安培力的方向相同，都是向上，所以對(duì)線框：3mg=BI_總l=$\frac{2{B}^{2}{l}^{2}v}{3R}$
解得：$v=\frac{9mgR}{2{B}^{2}{l}^{2}}$
（3）只有CD邊切割磁感線的過(guò)程中，等效電路如圖：
由串并聯(lián)電路的特點(diǎn)可知，流過(guò)AB的電流與流過(guò)EF的電流是總電流的一半，由：Q=I²Rt，所以：${Q}_{AB}={Q}_{EF}=\frac{1}{4}{Q}_{CD}$
從CD邊進(jìn)入到EF邊進(jìn)入的過(guò)程中：$3mgl-{Q}_{AB}-{Q}_{EF}-{Q}_{CD}=\frac{1}{2}•3m{v}^{2}-\frac{1}{2}•3m{v}_{0}^{2}$
所以：${Q}_{EF}=mgl-\frac{81{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{16{B}^{4}{l}^{4}}$
當(dāng)線框勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，CD邊與EF邊切割磁感線，由串并聯(lián)電路的特點(diǎn)可知，流過(guò)CD的電流與兩個(gè)EF的電流是總電流的一半，由：Q=I²Rt，
所以：$\frac{1}{4}{Q}_{AB}′={Q}_{EF}′={Q}_{CD}′$
所以：${Q}_{EF}′=\frac{1}{6}{Q}_{總}(cāng)$
當(dāng)CD邊出磁場(chǎng)時(shí)，AB邊恰好進(jìn)入磁場(chǎng)，磁場(chǎng)中仍然有兩條邊切割磁感線，等效電路如圖：線框仍然受力平衡，線框繼續(xù)做勻速直線運(yùn)動(dòng)，直到EF邊出磁場(chǎng)，EF中產(chǎn)生的熱量是總熱量中的$\frac{1}{6}$．
所以，從EF邊進(jìn)入磁場(chǎng)到EF出磁場(chǎng)的過(guò)程中，由功能關(guān)系得：3mg•2l=2Q_總=12Q_EF′
從開(kāi)始到線框勻速運(yùn)動(dòng)結(jié)束的過(guò)程中導(dǎo)體棒EF所產(chǎn)生的熱量：$Q={Q}_{EF}+2{Q}_{EF}′=\frac{3}{2}mgl-\frac{81{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{16{B}^{4}{l}^{4}}$．
答：（1）導(dǎo)體棒CD剛進(jìn)入磁場(chǎng)時(shí)線框加速度的大小是$\frac{3mg-\frac{2{B}^{2}{L}^{2}\sqrt{2gL}}{3R}}{3m}$；
（2）線框勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)速度的大小是$\frac{9mgR}{2{B}^{2}{l}^{2}}$；
（3）從開(kāi)始到線框勻速運(yùn)動(dòng)結(jié)束的過(guò)程中導(dǎo)體棒EF所產(chǎn)生的熱量是$\frac{3}{2}mgl-\frac{81{m}^{2}{g}^{2}{R}^{2}}{16{B}^{4}{l}^{4}}$

點(diǎn)評(píng) 按順序分析線框的受力情況，確定其運(yùn)動(dòng)情況以及等效電路是解決本題的關(guān)鍵點(diǎn)，同時(shí)要熟練推導(dǎo)出安培力與速度的關(guān)系．