Question

12．如圖所示，一質(zhì)量m=1kg的小物塊從A點被以v₀=8m/s的水平速度彈出，沿著滑動摩擦因數(shù)μ₀=0.6的粗糙水平面運(yùn)動做直線運(yùn)動，物塊經(jīng)過B點后水平拋出，AB間距離L=4m，當(dāng)物塊運(yùn)動至C點時，恰好沿切線方向進(jìn)入固定光滑圓弧軌道CD，經(jīng)圓弧軌道后滑上與D點等高、靜止在粗糙水平面的長木板上，圓弧軌道D端切線水平，已知長木板的質(zhì)量M=4kg，B、C兩點距D點的高度分別為H=0.6m，h=0.15m，R=0.75m，物塊與長木板之間的動摩擦因數(shù)μ₁=0.5，長木板與地面間的動摩擦因數(shù)μ₂=0.2，g=10m/s²，求：
（1）小物塊運(yùn)動至C點時的速度大小和方向；
（2）小物塊滑動至D點時，對圓弧軌道D點的壓力；
（3）長木板至少為多長，才能保證小物塊不滑出長木板？

Answer 1

分析 （1）已知平拋的拋出高度和落地速度方向，求落地的速度大小和方向，用運(yùn)動的合成與分解求解；
（2）小物塊在BC間做圓周運(yùn)動運(yùn)動，在C點時軌道支持力和重力的合力提供圓周運(yùn)動的向心力，據(jù)此求解即可；
（3）根據(jù)物塊在長木板上滑動時，物塊的位移-長木板的位移應(yīng)該小于等于長木板的長度這一臨界條件展開討論即可

解答 解：（1）物體到達(dá)B點的速度為v，在Ab段由動能定理可得${μ}_{0}mgL=\frac{1}{2}m{v}^{2}-\frac{1}{2}{mv}_{0}^{2}$
解得v=4m/s
物塊做平拋運(yùn)動：H-h=$\frac{1}{2}$gt²   
設(shè)到達(dá)D點時豎直分速度為v_y則：v_y=gt
v₁=$\sqrt{{v}^{2}{+v}_{y}^{2}}$=$\frac{5}{4}$v=5m/s
方向與水平面的夾角為θ：tanθ=$\frac{{v}_{y}}{v}$=0.75，即θ=37°  
（2）從B至D點，由動能定理得mgH=$\frac{1}{2}{mv}_{1}^{2}-\frac{1}{2}m{v}^{2}$     ①
設(shè)D點受到的支持力為F_N，則有F_N-mg=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{R}$
由①式可得v₂=2$\sqrt{7}$m/s   
所以：F_N=47.3 N     
根據(jù)牛頓第三定律可知，物塊m對圓弧軌道C點的壓力大小為47.3N
（3）由題意可知小物塊m對長木板的摩擦力f=μ₁mg=5N 
長木板與地面間的最大靜摩擦力近似等于滑動摩擦力f′=μ₂（M+m）g=10N 
因f＜f′，所以小物塊在長木板上滑動時，長木板靜止不動
小物塊在長木板上做勻減速運(yùn)動，至長木板右端時速度剛好為0
則長木板長度至少為l=$\frac{{v}_{1}^{2}}{2{μ}_{1}g}$=2.8m   
答：（1）小物塊運(yùn)動至C點時的速度大小為5m/s，方向與水平面成37°角；
（2）小物塊滑動至D點時，對圓弧軌道C點的壓力F_N=47.3 N；
（3）長木板至少為2.8m，才能保證小物塊不滑出長木

點評 本題關(guān)鍵要理清物塊在多個不同運(yùn)動過程中的運(yùn)動規(guī)律，掌握物塊各個階段的運(yùn)動規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵