Question

3．一彈珠彈射玩具模型如圖所示，水平粗糙管AB內(nèi)裝有一輕彈簧，左端固定．豎直放置管道BCD光滑，其中CD為半徑為R=0.1m的$\frac{1}{4}$圓周，C與地面高度也為R．用質(zhì)量m₁=0.3kg的彈珠（可看成質(zhì)點(diǎn)）將彈簧緩慢壓縮到某一確定位置M，彈珠與彈簧不固連，由靜止釋放后物塊恰停止在D點(diǎn)．用同種材料、質(zhì)量為m₂=0.1kg的彈珠仍將彈簧緩慢壓縮到M點(diǎn)釋放，由靜止釋放后彈珠由D點(diǎn)飛出后落在與D點(diǎn)正下方D′點(diǎn)相距x=0.8m處．g=10m/s²，求：
（1）m₂從D點(diǎn)飛出時的速度大小．
（2）彈珠m₂在D點(diǎn)時對軌道的彈力．
（3）彈簧緩慢壓縮到M點(diǎn)時儲存的彈性勢能．

Answer 1

分析 （1）研究彈珠m₂平拋運(yùn)動過程，彈珠m₂在豎直方向做自由落體運(yùn)動，由高度求時間，結(jié)合水平位移公式求m₂從D點(diǎn)飛出時的速度大�。�
（2）在D點(diǎn)，由牛頓運(yùn)動定律求彈珠m₂在D點(diǎn)時對軌道的彈力．
（3）研究彈珠從釋放到D點(diǎn)的過程，運(yùn)用能量守恒定律求解彈簧緩慢壓縮到M點(diǎn)時儲存的彈性勢能．

解答 解：（1）彈珠m₂平拋運(yùn)動，有
  2R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
得 t=2$\sqrt{\frac{R}{g}}$=2×$\sqrt{\frac{0.1}{10}}$=0.2s
m₂從D點(diǎn)飛出時的速度大小 v_D=$\frac{x}{t}$=$\frac{0.8}{0.2}$=4m/s
（2）彈珠m₂在D點(diǎn)時，由牛頓第二定律得
  mg+F_N=m$\frac{{v}_{D}^{2}}{R}$
解得 F_N=15N，方向豎直向下 
由牛三知m₂在D點(diǎn)時對軌道的彈力 F_N′=F_N=15N，方向豎直向上
（3）研究彈珠從釋放到D點(diǎn)的過程，由能量守恒定律得：
釋放m₁的過程，有 E_P=μm₁gx_MB+m₁g•2R
釋放m₂的過程，有 E_P=μm₂gx_MB+m₂g•2R+$\frac{1}{2}m{v}_{D}^{2}$
解得 E_P=1.2J
答：
（1）m₂從D點(diǎn)飛出時的速度大小是4m/s．
（2）彈珠m₂在D點(diǎn)時對軌道的彈力是15N，方向豎直向上．
（3）彈簧緩慢壓縮到M點(diǎn)時儲存的彈性勢能是1.2N．

點(diǎn)評 本題的關(guān)鍵掌握圓周運(yùn)動最高點(diǎn)的動力學(xué)方程，明確平拋運(yùn)動的研究方法：運(yùn)動的分解法，掌握分位移公式．