Question

7．如圖所示，一質量為M，長為L的木板放在水平面上，板的A端站著一個質量為m的人，人與板，板與地面間的摩擦因數分別為μ₂和μ₁，且有μ₂＞＞μ₁，人由靜止開始向B端勻加速奔跑，到達B端時相對板突然停下，然后人與板一起滑行s距離．若要s最大，則人在板上加速度大小為多少？s的最大值為多少？

Answer 1

分析 結合題目給出的條件μ₂＞＞μ₁，以及動量定理，分析人到達木板的右側時的共同速度，然后結合動能定理即可求出．

解答 解：人在木板上跑動的過程中，人與木板之間的作用力是系統(tǒng)的內力，木板受到的摩擦力是外力，設人在跑動的過程中木板受到的摩擦力為f，當人跑到B端時相對于木板靜止后，人與木板組成的系統(tǒng)滿足動量定理，即ft=（M+m）v．
①若該過程中木板相對于地面向左運動，則木板受到的摩擦力的大小都是相等的始終是μ₁（m+M）g，當人跑到B端時相對于木板靜止后滿足μ₁（m+M）gt=（M+m）v
可知人運動的時間越長，則系統(tǒng)的速度越大；而根據相對運動的特點可知，所以當木板恰好要相對于地面要運動時，人運動的時間最長，系統(tǒng)獲得的速度最大，則人與板一起滑行S距離最大．
②若該過程中木板相對于地面沒有運動，設木板受到的摩擦力的大小是f，人運動到達B端的時間為t，則ft=（M+m）v   ①
當人跑到B端時相對于木板靜止后，人與木板受到的摩擦力大小為：f′=μ₁（M+m）g   ②
設人與木板相對于地面靜止的過程中的位移為S，由動能定理得：$-f′S=0-\frac{1}{2}（M+m）{v}^{2}$   ③
聯(lián)立①②③得：$\frac{1}{2}（M+m）•\frac{{f}^{2}{t}^{2}}{（M+m）^{2}}={μ}_{1}（M+m）gS$  ④
對人在木板上運動的過程中，由于木板相對于地面靜止，則木板受到的人對木板的選擇的摩擦力與木板受到的地面對木板的向右的摩擦力大小相等，所以木板對人的摩擦力大小等于地面對木板的摩擦力的大小，即f．對人：f=ma   ⑤
人到達B端的過程：$\frac{1}{2}a{t}^{2}=L$  ⑥
聯(lián)立⑤⑥得：ft²=2mL   ⑦
將⑦式代入④得：$\frac{f•mL}{（M+m）^{2}}={μ}_{1}gS$  ⑧
可知，木板受到的摩擦力f越大，則人與板一起滑行S距離越大．所以當木板恰好要相對于地面要運動時，則人與板一起滑行S距離最大．
綜合以上的分析可知，當木板恰好要相對于地面滑動時，人與板一起滑行S距離最大．此時f=f′=μ₁（M+m）g  ⑨
人的加速度：a=$\frac{f}{m}=\frac{{μ}_{1}（M+m）}{m}g$
將⑨代入⑧得：$S=\frac{mL}{（M+m）}$
答：當木板恰好要相對于地面要運動時，則人與板一起滑行S距離最大，此時人的加速度是$\frac{{μ}_{1}（M+m）}{m}g$，S的最大值是$\frac{mL}{M+m}$．

點評 該題中，人在木板上運動的過程中木板受到的摩擦力越大，運動的時間越長，則人和木板獲得的水平方向的動量越大，結合相應的公式判斷出系統(tǒng)具有的最大速度是解答的關鍵．