Question

在天文觀測(cè)中，地球與太陽的連線和地球與被觀測(cè)行星的連線的夾角稱為行星對(duì)地球的視角．當(dāng)視角最大時(shí)，地球上觀測(cè)此行星的時(shí)機(jī)最佳．如圖是地球與某行星圍繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的示意圖，它們的軌道半徑分別為r₁、r₂，r₁＞r₂，下列說法正確的是（　�。�

• A．該行星公轉(zhuǎn)周期大于1年
• B．該行星對(duì)地球的最大視角tan θ_m=

  r2

  r1

• C．該行星恰處于最佳觀測(cè)位置時(shí)，地球與行星間的距離為d=

  r 2 1 - r 2 2

• D．若某時(shí)刻該行星恰處于最佳觀測(cè)位置，則到下次最佳觀測(cè)位置相隔的時(shí)間不可能小于行星的公轉(zhuǎn)周期

Answer 1

分析：地球與某行星圍繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力列出等式，表示出周期，然后去進(jìn)行比較．
根據(jù)題意畫出行星恰處于最佳觀測(cè)位置圖形，運(yùn)用幾何關(guān)系求出問題．

解答：解：A、地球與某行星圍繞太陽做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力得：

GmM

R2

=m

4π2R

T2

T=2π

R3 GM

由于r₁＞r₂，得出地球的公轉(zhuǎn)周期大于行星公轉(zhuǎn)周期．
所以該行星公轉(zhuǎn)周期小于1年．故A錯(cuò)誤．
B、要視角最大，必須地球與行星的連線與行星的軌道相切．如圖：

根據(jù)直角三角形幾何關(guān)系得出：tanθ=

r2

r 2 1 - r 2 2

，故B錯(cuò)誤．
C、根據(jù)直角三角形幾何關(guān)系得出該行星恰處于最佳觀測(cè)位置時(shí)，地球與行星間的距離為d=

r 2 1 - r 2 2

．故C正確．
D、由題意可得行星的軌道半徑r為：r₂=r₁sinθ   …①
設(shè)行星繞太陽的運(yùn)轉(zhuǎn)周期為T′，由開普勒第三定律有：

r 3 1

T2

=

r 3 2

T′2

    …②
設(shè)行星最初處于最佳觀察期時(shí)，其位置超前與地球，且設(shè)經(jīng)時(shí)間t地球轉(zhuǎn)過α角后該行星再次
處于最佳觀察期．則行星轉(zhuǎn)過的角度β為：β=π+α+2θ   …③
于是有：

2π

T

t=α                 …④
  

2π

T′

t=β                …⑤
解①②③④⑤可得：t=

π+2θ

2π(1- sin3θ )

T′    …⑥
從數(shù)學(xué)關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)到下次最佳觀測(cè)位置相隔的時(shí)間可能小于行星的公轉(zhuǎn)周期．故D錯(cuò)誤．
故選C．

點(diǎn)評(píng)：向心力的公式選取要根據(jù)題目提供的已知物理量或要求解的物理量選取應(yīng)用．
物理問題經(jīng)常要結(jié)合數(shù)學(xué)幾何關(guān)系解決．