Question

5．在互相垂直的勻強磁場和勻強電場中固定放置一光滑的絕緣斜面，其傾角為θ．設斜面足夠長，磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向外，電場方向豎直向上，如圖所示．一質量為m、帶電量為q的小球靜止放在斜面的最高點A，小球對斜面的壓力恰好為零．在釋放小球的同時，將電場方向迅速改為豎直向下，場強大小不變，設B、q、θ和m為已知．求：
①小球沿斜面下滑的速度v為多大時，小球對斜面的正壓力再次為零？
②小球在斜面上滑行的最大距離為多大？
③小球從釋放到離開斜面一共歷時多少？

Answer 1

分析 （1）當電場豎直向上時，小球對斜面無壓力，可知電場力和重力大小相等；當電場豎直向下時，小球受到向下的力為2mg；當小球恰好離開斜面時，在垂直于斜面的方向上合力為零，由此可求出此時的速度；
（2）當電場豎直向上時，小球對斜面無壓力，可知電場力和重力大小相等；當電場豎直向下時，小球受到向下的力為2mg；當小球恰好離開斜面時，在垂直于斜面的方向上合力為零，由此可求出此時的速度；在此過程中，電勢能和重力勢能轉化為動能，由動能定理即可求出小球下滑的距離．
（3）經受力分析可知，小球在沿斜面方向上合力不變，故沿斜面做勻加速直線運動，由運動學公式可求出運動時間．

解答 解：①由靜止可知：qE=mg
當小球恰好離開斜面時，對小球受力分析，受豎直向下的重力、電場力和垂直于斜面向上的洛倫茲力，此時在垂直于斜面方向上合外力為零．
則有：（qE+mg）cosθ=qvB
解得：v=$\frac{2mgcosθ}{qB}$．
②由靜止可知：qE=mg
當小球恰好離開斜面時，對小球受力分析，受豎直向下的重力、電場力和垂直于斜面向上的洛倫茲力，此時在垂直于斜面方向上合外力為零．
則有：（qE+mg）cosθ=qvB
由動能定理得：（qE+mg）sinθ•x=$\frac{1}{2}$mv²
解得：x=$\frac{{m}^{2}gco{s}^{2}θ}{{q}^{2}{B}^{2}sinθ}$
③對小球受力分析，在沿斜面方向上合力為（qE+mg）sinθ，且恒定，故沿斜面方向上做勻加速直線運動．由牛頓第二定律得：
（qE+mg）sinθ=ma
得：a=2gsinθ
v=at
解得：t=$\frac{mcosθ}{qBsinθ}$．
答：①小球沿斜面下滑的速度為$\frac{2mgcosθ}{qB}$時，小球對斜面的正壓力再次為零；
②小球在斜面上滑行的最大距離為$\frac{{m}^{2}gco{s}^{2}θ}{{q}^{2}{B}^{2}sinθ}$；
③小球從釋放到離開斜面一共經歷$\frac{mcosθ}{qBsinθ}$．

點評 該題考察了帶電物體在復合場中的運動情況，解決此類問題要求我們要對帶電物體進行正確的受力分析，要注意找出當小球離開斜面時的受力情況是解決該題的關鍵．