Question

13．一宇航員到達(dá)半徑為R、密度均勻的某星球表面，做如下實(shí)驗(yàn)：用不可伸長(zhǎng)的輕繩栓一質(zhì)量為m的小球，上端固定在O點(diǎn)，如圖甲所示，在最低點(diǎn)給小球某一初速度，使其繞O點(diǎn)在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，測(cè)得繩的拉力F的大小隨時(shí)間t的變化規(guī)律如圖乙所示，△F=F₁-F₂，設(shè)R、m、引力常量G、△F均為已知量，忽略各種阻力，求：
（1）該星球的質(zhì)量；
（2）若在該星球上發(fā)射一顆衛(wèi)星，發(fā)射速度至少為多大？

Answer 1

分析 （1）小球在豎直平面內(nèi)做圓周運(yùn)動(dòng)，在最高點(diǎn)與最低點(diǎn)繩子的拉力與重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律列式可以求出重力加速度；利用萬(wàn)有引力等于重力，求出星球的質(zhì)量M；
（2）利用重力等于萬(wàn)有引力列式求解發(fā)射速度．

解答 解：（1）由乙圖知：小球做圓周運(yùn)動(dòng)在最高點(diǎn)拉力為F₂，在最低點(diǎn)拉力為F₁．
設(shè)最高點(diǎn)速度為v₂，最低點(diǎn)速度為v₁，繩長(zhǎng)為l．
在最高點(diǎn)：F₂+mg=$m\frac{{v}_{2}^{2}}{l}$   ①
在最低點(diǎn)：F₁-mg=$m\frac{{v}_{1}^{2}}{l}$   ②
由機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}$m${v}_{1}^{2}$=mg•2l+$\frac{1}{2}$m${v}_{2}^{2}$      ③
由①②③解得：
g=$\frac{{F}_{1}-{F}_{2}}{6m}$=$\frac{△F}{6m}$        ④
在星球表面，重力等于萬(wàn)有引力，故“
mg=G$\frac{Mm}{{R}^{2}}$            ⑤
聯(lián)立④⑤解得：
M=$\frac{△F•{R}^{2}}{6Gm}$
（2）在該星球上發(fā)射一顆衛(wèi)星，重力等于向心力，故：
mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$            ⑥
聯(lián)立⑤⑥解得：
v=$\sqrt{\frac{△FR}{6m}}$
答：（1）該星球的質(zhì)量為$\frac{△F•{R}^{2}}{6Gm}$；
（2）若在該星球上發(fā)射一顆衛(wèi)星，發(fā)射速度至少為$\sqrt{\frac{△FR}{6m}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了萬(wàn)有引力提供向心力和萬(wàn)有引力等于重力兩個(gè)理論，并與圓周運(yùn)動(dòng)結(jié)合，綜合運(yùn)用了牛頓第二定律和機(jī)械能守恒定律，對(duì)學(xué)生的能力要求較高，是道好題．