Question

8．如圖所示，長為3L的長木板AD放在光滑的水平面上，B、C兩點將長木板三等分．AB，CD段光滑．一物塊從A點以一定的初速度滑上長木板．物塊與BC段間的動摩擦因數為μ，物塊質量為m，長木板的質量為2m．重力加速度為g．
求：
（1）要使物塊不滑離長木板，物塊的初速度應滿足什么條件：
（2）若初速度為2$\sqrt{μgL}$，則物塊在長木板上運動的時間為多少．

Answer 1

分析 （1）對物塊和木板組成的系統運用動量守恒定律和能量守恒定律，抓住臨界狀態(tài)，即速度相等時恰好滑到C點，求出初速度滿足的條件．
（2）物塊在AB段做勻速直線運動，根據位移公式求出AB段的運動時間，根據牛頓第二定律求出物塊和木板在BC段的加速度，結合位移之差等于L求出運動的時間，以及在C點物塊和木板的速度，結合位移之差等于L求出CD段的時間，從而得出總時間．

解答 解：（1）物塊不滑離木板的臨界情況是速度相等時恰好滑動C點，
以物塊和木板組成的系統為研究對象，根據動量守恒 定律得，mv₀=（2m+m）v，解得v=$\frac{{v}_{0}}{3}$，
根據能量守恒得，$μmgL=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}-\frac{1}{2}•3m{v}^{2}$，
解得v₀=$\sqrt{3μgL}$．
則${v}_{0}≤\sqrt{3μgL}$．
（2）若初速度為2$\sqrt{μgL}$$＞\sqrt{3μgL}$，物塊會滑離木板，
AB段運動時間${t}_{1}=\frac{L}{{v}_{0}}=\frac{L}{2\sqrt{μgL}}=\frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{μg}}$，
BC段，由x_物-x_板=L得，
$（{v}_{0}{t}_{2}-\frac{1}{2}{a}_{物}{{t}_{2}}^{2}）-\frac{1}{2}{a}_{板}{{t}_{2}}^{2}=L$
根據牛頓第二定律得，a_物=μg，木板的加速度${a}_{板}=\frac{μmg}{2m}=\frac{1}{2}μg$，
代入數據解得${t}_{2}=\frac{2}{3}\sqrt{\frac{L}{μg}}$．
C點速度${v}_{物}={v}_{0}-{a}_{物}{t}_{2}=\frac{4}{3}\sqrt{μgL}$，${v}_{板}={a}_{板}{t}_{2}=\frac{1}{3}\sqrt{μgL}$，
CD段運動的時間${t}_{3}=\frac{L}{{v}_{物}-{v}_{板}}=\sqrt{\frac{L}{μg}}$，
則總時間t=t₁+t₂+t₃=$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{L}{μg}}+\frac{2}{3}\sqrt{\frac{L}{μg}}+\sqrt{\frac{L}{μg}}$=$\frac{13}{6}\sqrt{\frac{L}{μg}}$．
答：（1）要使物塊不滑離長木板，物塊的初速度應滿足${v}_{0}≤\sqrt{3μgL}$．
（2）物塊在長木板上運動的時間為$\frac{13}{6}\sqrt{\frac{L}{μg}}$．

點評 解決本題的關鍵理清物塊和木板在整個過程中的運動規(guī)律，結合牛頓第二定律和運動學公式綜合求解，對于第一問也可以采用動力學知識進行求解．