Question

12．如圖所示，半徑為R的光滑的四分之三圓弧軌道豎直放置，A、C兩點(diǎn)分別為軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn)，一質(zhì)量為m的小環(huán)套在軌道上，小環(huán)以水平向右的初速度從A出發(fā)經(jīng)C點(diǎn)后，恰可撞擊到D點(diǎn)．求：
（1）小環(huán)到達(dá)C點(diǎn)瞬間軌道對(duì)環(huán)的彈力的大小和方向；
（2）設(shè)小環(huán)撞擊到D點(diǎn)后又能套在圓軌道上，那么相對(duì)A點(diǎn)能上升的最大高度是多少？

Answer 1

分析 （1）小環(huán)從C到D做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合水平位移和時(shí)間求出小環(huán)通過C點(diǎn)時(shí)的速度．在C點(diǎn)，由牛頓第二定律求軌道對(duì)環(huán)的彈力．
（2）小環(huán)撞擊D點(diǎn)后水平方向的分速度突然減至零，只剩豎直分速度，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出豎直分速度，再由機(jī)械能守恒定律求小環(huán)相對(duì)A點(diǎn)能上升的最大高度．

解答 解：（1）小環(huán)從C到D做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律有：
R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$
R=v_Ct
解得：v_C=$\sqrt{\frac{1}{2}gR}$
在C點(diǎn)，以小環(huán)為研究對(duì)象，設(shè)軌道對(duì)小環(huán)的彈力方向豎直向上，大小為F．根據(jù)牛頓第二定律得：
mg-F=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得：F=$\frac{1}{2}$mg
由于F＞0，所以假設(shè)正確，即軌道對(duì)環(huán)的彈力的方向豎直向上．
（2）小環(huán)撞擊D點(diǎn)后水平方向的分速度突然減至零，只剩豎直分速度，豎直分速度為：v_y=gt=$\sqrt{2gR}$
設(shè)小環(huán)相對(duì)A點(diǎn)能上升的最大高度為h．取A點(diǎn)為參考點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律得：
$\frac{1}{2}m{v}_{y}^{2}$+mgR=mgh
解得：h=2R
答：（1）小環(huán)到達(dá)C點(diǎn)瞬間軌道對(duì)環(huán)的彈力的大小是$\frac{1}{2}$mg，方向豎直向上；
（2）設(shè)小環(huán)撞擊到D點(diǎn)后又能套在圓軌道上，那么相對(duì)A點(diǎn)能上升的最大高度是2R．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了平拋運(yùn)動(dòng)、向心力與機(jī)械能守恒定律的綜合，要知道平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，明確圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源：指向合外力．關(guān)鍵要判斷出小環(huán)撞擊D點(diǎn)時(shí)速度的變化．