Question

12．在地面上方某處的真空室里存在著水平方向的勻強電場，以水平向右和豎直向上為x軸、y軸正方向建立如圖所示的平面直角坐標系．一質量為m、帶電荷量為+q的微粒從點P（$\frac{\sqrt{3}}{3}$t，0）由靜止釋放后沿直線PQ運動．當微粒到達點Q（0，-l）的瞬間，撤去電場，同時加上一個垂直于紙面向外的勻強磁場（圖中未畫出），磁感應強度的大小B=$\frac{m}{q}$$\sqrt{\frac{3g}{2l}}$，該磁場有理想的下邊界，其他方向范圍無限大．已知重大加速度為g．求：
（1）勻強電場的場強E的大�。�
（2）撤去電場加上磁場的瞬間，微粒所受合外力的大小和方向；
（3）欲使微粒不從磁場下邊界穿出，該磁場下邊界的y軸坐標值應滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）微粒在電場中受到電場力和重力，沿PQ方向運動，可知微粒所受的合力必定沿PQ方向，可知電場力方向水平向左，作出力的合成圖，求解場強大�。�
（2）微粒到達Q點的速度v可分解為水平分速度為v₁和豎直分速度為v₂．微粒在電場中豎直方向的分運動是自由落體運動，由下落高度可求出v₂，由速度的分解，求出v₁．撤去電場加上磁場的瞬間，由F=qvB分別求出兩個分速度所對應的洛倫茲力，再合成求解微粒的合力大小和方向．
（3）根據微粒的受力情況，運用運動的分解法研究：微粒的運動可以看作水平面內的勻速直線運動與豎直面內的勻速圓周運動的合成，能否穿出下邊界取決于豎直面內的勻速圓周運動，當微粒的軌跡剛好與下邊界相切時，得到臨界的半徑，即可求出該磁場下邊界的y軸坐標值應滿足的條件．

解答 解：（1）由于微粒沿PQ方向運動，可知微粒所受的合力沿PQ方向，
可得：qE=mgcotα   ①由題意可知：α=60°，解得：E=$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$ ②
（2）微粒到達Q點的速度v可分解為水平分速度為v₁和豎直分速度為v₂，
根據豎直方向上自由落體運動規(guī)律有：v₂²=2gl，v₂=$\sqrt{2gl}$   ③
速度：v₁=v₂tan30°=$\sqrt{\frac{2gl}{3}}$   ④
對于水平分速度v₁，其所對應的洛倫茲力大小為：f₁，方向豎直向上，
洛倫茲力：f₁=qv₁B=q•$\sqrt{\frac{2gl}{3}}$•$\frac{m}{q}$$\sqrt{\frac{3g}{2l}}$=mg  ⑤
即與重力恰好平衡 對于豎直分速度v₂，其所對應的洛倫茲力大小為：f₂，方向：水平向左，
此力為微粒所受的合力：F=f₂=qv₂B=q•$\sqrt{2gl}$•$\frac{m}{q}$$\sqrt{\frac{3g}{2l}}$=$\sqrt{3}$mg   ⑥
（3）由（2）可知，微粒的運動可以看作水平面內的勻速直線運動與豎直面內的勻速圓周運動的合成．
能否穿出下邊界取決于豎直面內的勻速圓周運動，則：qv₂B=m$\frac{{v}_{2}^{2}}{r}$   ⑦解得：r=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$l   ⑧
所以欲使微粒不從其下邊界穿出，磁場下邊界的y坐標值應滿足：y≤-（r+l）=-（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1）l；
答：（1）勻強電場的場強E的大小為$\frac{\sqrt{3}mg}{3q}$；
（2）撤去電場加上磁場的瞬間，微粒所受合外力的大小為$\sqrt{3}$mg，方向：水平向左；
（3）欲使微粒不從磁場下邊界穿出，該磁場下邊界的y軸坐標值應滿足的條件是：y≤-（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$+1）l．

點評 本題中微粒在電場中做直線運動，抓住質點做直線運動的條件：合力與速度共線分析并求解場強的大�。�加上磁場后，運用分解的方法研究洛倫茲力，此法不常用，要嘗試運用．