Question

18．如圖所示，兩根完全相同的光滑金屬導(dǎo)軌OP、OQ固定在水平桌面上，導(dǎo)軌間的夾角為θ=74°．導(dǎo)軌所在空間有垂直于桌面向下的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B₁=0.2T．t=0時刻，一長為L=1m的金屬桿MN在外力作用下以恒定速度v=0.2m/s從O點(diǎn)開始向右滑動．在滑動過程中金屬桿MN與導(dǎo)軌接觸良好，且始終垂直于兩導(dǎo)軌夾角的平分線，金屬桿的中點(diǎn)始終在兩導(dǎo)軌夾角的平分線上．導(dǎo)軌與金屬桿單位長度的電阻均為r₀=0.1Ω．求
（1）t=2s時刻，金屬桿中的電流強(qiáng)度I；
（2）0～2s內(nèi)，閉合回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q；
（3）若在t=2s時刻撤去外力，為保持金屬桿繼續(xù)以v=0.2m/s做勻速運(yùn)動，在金屬桿脫離導(dǎo)軌前可采取將B從B₀逐漸減小的方法，則磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)隨時間怎樣變化（寫出B與t的關(guān)系式）？

Answer 1

分析 （1）先求出t=2s時導(dǎo)體棒的有效切割長度，求出切割產(chǎn)生的動生電動勢；根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律求出感生電動勢，再由歐姆定律求出回路中的電流強(qiáng)度I．
（2）由焦耳定律求閉合回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q．
（3）若在t=2s時刻撤去外力，為保持金屬桿繼續(xù)以v=0.2m/s做勻速運(yùn)動，光滑金屬桿不再受到安培力作用，回路中感應(yīng)電流應(yīng)為零，磁通量不變，據(jù)此列式求解．

解答 解：（1）在t時刻，連入回路的金屬桿的長度：L=2vttan37°=1.5vt
回路的總電阻：R=2（vttan37°+$\frac{vt}{cos37°}$）r₀=0.4vt
回路的感應(yīng)電動勢：E=B₀Lv
回路的電流強(qiáng)度：I=$\frac{E}{R}$=0.75v
聯(lián)立解得：I=0.15A
（2）由于電流恒定，在t時刻回路消耗的電功率：P=I²R=1.8×10^-3t
0～2s內(nèi)回路消耗的平均電功率：$\overline{P}$=$\frac{P}{2}$=1.8×10^-3W
回路產(chǎn)生的熱量：Q=$\overline{P}$t=1.8×10^-3×2J=3.6×10^-3J
（3）在t=2s時刻撤去外力后，因金屬桿做勻速運(yùn)動，故光滑金屬桿不再受到安培力作用，回路電流為零，任一時刻回路磁通量相等：
 Φ₁=Φ₂；
三角形回路的面積：S=$\frac{L•vt}{2}$=$\frac{3{v}^{2}{t}^{2}}{4}$
t=2s時刻回路的磁通量：Φ₁=B₀•$\frac{3{v}^{2}{t}^{2}}{4}$=0.2×$\frac{3×0．{2}^{2}×{2}^{2}}{4}$Wb=0.024Wb
t時刻回路的磁通量：Φ₂=B•$\frac{3{v}^{2}{t}^{2}}{4}$
聯(lián)立解得：B=$\frac{0.8}{{t}^{2}}$（2s≤t≤$\frac{10}{3}$s）
答：
（1）t=2s時刻，金屬桿中的電流強(qiáng)度I是0.15A；
（2）0～2s內(nèi)，閉合回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q為3.6×10^-3J；
（3）磁感應(yīng)強(qiáng)度B應(yīng)隨時間變化的規(guī)律為B=$\frac{0.8}{{t}^{2}}$（2s≤t≤$\frac{10}{3}$s）．

點(diǎn)評 本題關(guān)鍵是根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律、歐姆定律、電阻定律得到感應(yīng)電流不變，明確感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件：磁通量變化，相反，磁通量不變時感應(yīng)電流為零．