Question

如圖所示，將半徑為R、圓心為O的大圓環(huán)固定在豎直的平面內(nèi)，將兩個(gè)輕質(zhì)小圓環(huán)套在大圓環(huán)上，一根輕質(zhì)長(zhǎng)繩穿過(guò)兩個(gè)小圓環(huán)，它的兩端都系上質(zhì)量為m₁的重物，忽略小圓環(huán)的大小。求：
(1) 將兩個(gè)小圓環(huán)固定在大圓環(huán)豎直對(duì)稱(chēng)軸的兩側(cè)傾角θ=30°的位置上。在兩個(gè)小圓環(huán)間的繩子中點(diǎn)C處，掛上一個(gè)質(zhì)量的重物，使兩個(gè)小圓環(huán)間的繩子水平，然后無(wú)初速度釋放重物m，設(shè)繩子與大、小圓環(huán)間的摩擦均可忽略，求重物m下降的最大距離。
(2)若不掛重物m，小圓環(huán)可以在大圓環(huán)上自由移動(dòng)，且繩子與大、小圓環(huán)間及大小圓環(huán)之間的摩擦力均可以忽略，問(wèn)兩個(gè)小圓環(huán)分別在哪些位置時(shí)，系統(tǒng)可處于平衡狀態(tài)？

Answer 1

解：(1)重物向下先做加速運(yùn)動(dòng)，后做減速運(yùn)動(dòng)
當(dāng)重物的速度為0時(shí)，下降的距離最大
設(shè)下降的最大距離為h
由機(jī)械能守恒定律得mgh=
解得h=（另解h=0舍去）
(2)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)時(shí)，兩個(gè)小圓環(huán)的可能位置為：
兩個(gè)小圓環(huán)同時(shí)位于大圓環(huán)的頂端
兩個(gè)小圓環(huán)同時(shí)位于大圓環(huán)的底端
兩個(gè)小圓環(huán)一個(gè)位于大圓環(huán)的頂端
另一個(gè)位于大圓環(huán)的底端
除上述三種情況外，根據(jù)對(duì)稱(chēng)性可知，系統(tǒng)如能平衡
則兩個(gè)小圓環(huán)的位置一定關(guān)于大圓環(huán)豎直的對(duì)稱(chēng)軸對(duì)稱(chēng)
設(shè)平衡時(shí)，兩個(gè)小圓環(huán)在大圓環(huán)豎直對(duì)稱(chēng)軸兩側(cè)α角的位置上（如下圖所示）

對(duì)于重物m，受繩子拉力T與重力mg的作用，有T=mg
對(duì)于小圓環(huán)，它受到三個(gè)力的作用
水平繩子的拉力T，豎直繩子的拉力T，大圓環(huán)的支持力N
兩條繩子的拉力沿大圓環(huán)切向的分力大小相等，方向相反
有Tsinα= Tsinα'，得α'=α，而α+α'=90°，所以α=45°