Question

如圖所示，質(zhì)量為M=0.4kg的鐵板固定在一根輕彈簧上方，鐵板的上表面保持水平．彈簧的下端固定在水平面上，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)．在鐵板中心的正上方有一個(gè)質(zhì)量為m=0.1kg的木塊，從離鐵板上表面高h(yuǎn)=0.8m處自由下落．木塊撞到鐵板上以后不再分離，兩者一起開始做簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)．木塊撞到鐵板上共同下降x₁=2.0cm后，它們的共同速度第一次達(dá)到最大值．又繼續(xù)下降x₂=8.0cm后，它們的共同速度第一次減小為零．空氣阻力忽略不計(jì)，g=10m/s²．求：
（1）若彈簧的彈力跟彈簧的形變量成正比，比例系數(shù)叫做彈簧的勁度系數(shù)，用k表示．求本題中彈簧的勁度系數(shù)k．
（2）木塊和鐵板碰撞后瞬間具有的共同速度為多少？
（3）從木塊和鐵板共同開始向下運(yùn)動(dòng)到它們的共同速度第一次減小到零過程中，彈簧的彈性勢(shì)能增加了多少？
（4）在此后的振動(dòng)過程中，鐵板對(duì)木塊的彈力的最小值N是多少（提示：簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)具有對(duì)稱性，其振幅最大位置具有的加速度大小相等、方向相反）？

Answer 1

分析：（1）M靜止時(shí)，根據(jù)平衡條件列式；速度最大時(shí)，M、m組成的系統(tǒng)加速度為零，鐵塊與木塊的合力為零，根據(jù)平衡條件列式；然后聯(lián)立求解k．
（2）m先自由落體，根據(jù)動(dòng)能定理或機(jī)械能守恒求出碰撞前的速度；碰撞過程動(dòng)量守恒，根據(jù)守恒定律求解出碰后速度；
（3）根據(jù)碰后系統(tǒng)的機(jī)械能守恒定律求解彈性勢(shì)能的增加量．
（4）當(dāng)系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)皮最高點(diǎn)時(shí)，鐵板對(duì)木塊的彈力最小．先根據(jù)牛頓第二定律求出系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到最低點(diǎn)時(shí)的加速度，根據(jù)對(duì)稱性可知，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)時(shí)的加速度與最低點(diǎn)的加速度大小相等，方向相反，得到最高點(diǎn)的加速度，即可根據(jù)牛頓第二定律求解鐵板對(duì)木塊的彈力的最小值N．

解答：解：（1）設(shè)系統(tǒng)靜止時(shí)系統(tǒng)彈簧的壓縮量為x₀，則：kx₀=Mg，
共同速度最大時(shí)鐵板與木塊的合外力為零有：k（x₀+x₁）=（M+m）g 
由以上兩式解得：k=

mg

x1

=

0.1×10

0.02

 N/m=50N/m．
（2）由機(jī)械能守恒得：mgh=

1

2

m

v

2 0

木塊與鐵板碰撞前瞬間的速度為：
v₀=

2gh

=

2×10×0.8

m/s=4 m/s   
設(shè)兩者在碰后的共同速度為v，由動(dòng)量守恒定律得：mv₀=（M+m）v    
解得：v=

mv0

M+m

=

0.1×4

0.4+0.1

 m/s=0.8m/s   
（3）彈簧增加的彈性勢(shì)能等于系統(tǒng)減少的動(dòng)能和重力勢(shì)能之和，有：
△E_p=

1

2

（M+m）v²+（M+m）g（x₁+x₂）=

1

2

（0.4+0.1）0.8²J+（0.4+0.1）×10×（0.02+0.08）J=0.66 J     
（4）系統(tǒng)在最低點(diǎn)的加速度為：a=

F合

M+m

=

k(x0+x1+x2)-(M+m)g

M+m

=8m/s    
根據(jù)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)到最高點(diǎn)的加速度大小也為a，且此時(shí)鐵板對(duì)木塊的彈力N為最小，取木塊為研究對(duì)象，根據(jù)牛頓第二定律得：mg-N=ma    
解得：N=m（g-a）=0.1（10-8）N=0.2N   
答：（1）本題中彈簧的勁度系數(shù)k為50N/m．
（2）木塊和鐵板碰撞后瞬間具有的共同速度為0.8m/s．  
（3）從木塊和鐵板共同開始向下運(yùn)動(dòng)到它們的共同速度第一次減小到零過程中，彈簧的彈性勢(shì)能增加了0.66J．
（4）在此后的振動(dòng)過程中，鐵板對(duì)木塊的彈力的最小值N是0.2N．

點(diǎn)評(píng)：本題關(guān)鍵明確m與M運(yùn)動(dòng)規(guī)律，同時(shí)結(jié)合動(dòng)能定理、機(jī)械能守恒、動(dòng)量守恒定律、平衡條件列方程后聯(lián)立求解．