Question

20．如圖所示，間距為L=0.2m的兩條平行金屬導(dǎo)軌與水平面的夾角為θ=37°，導(dǎo)軌足夠長且電阻忽略不計(jì)．兩導(dǎo)軌的上端點(diǎn)之間連接有一阻值為R=1Ω的電阻，下端點(diǎn)固定一個(gè)套在導(dǎo)軌上的輕質(zhì)彈簧，彈簧的自由端分別位于導(dǎo)軌的a、b兩點(diǎn)．以a、b兩點(diǎn)為界，上端導(dǎo)軌粗糙，且分布有垂直于導(dǎo)軌平面，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1T的勻強(qiáng)磁場；下端導(dǎo)軌光滑，且不存在磁場．一質(zhì)量為m=0.1kg、電阻不計(jì)的導(dǎo)體棒從c、d位置由靜止開始沿導(dǎo)軌下滑，到達(dá)a、b兩點(diǎn)之前導(dǎo)體棒的速度就已經(jīng)保持不變．導(dǎo)體棒被彈簧再次彈出，上滑一段時(shí)間后速度減為零，到達(dá)位置e、f．已知導(dǎo)體棒與粗糙導(dǎo)軌部分的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ=0.25，導(dǎo)體棒運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直．求
（1）以上所述運(yùn)動(dòng)過程中，導(dǎo)體棒在磁場中的最大速度和最大加速度分別為多大？
（2）若用t表示導(dǎo)體棒從脫離彈簧到速度減為零的時(shí)間，則此時(shí)間內(nèi)電阻上產(chǎn)生的熱量為多大？（用含有字母t的表達(dá)式來表示）

Answer 1

分析 （1）導(dǎo)體棒下滑過程中受重力、支持力、滑動(dòng)摩擦力和安培力，速度為零時(shí)加速度最大；當(dāng)加速度減小為零時(shí)速度到達(dá)最大．根據(jù)牛頓第二定律列式求解．
（2）先對(duì)上滑過程根據(jù)牛頓第二定律和微分法求解上滑的位移，再根據(jù)功能關(guān)系列式求解產(chǎn)生的熱量．

解答 解：（1）開始時(shí)安培力為零，故加速度最大，根據(jù)牛頓第二定律，有：
 mgsin37°-μmgcos37°=ma
解得：a=g（sin37°-μcos37°）=10×（0.6-0.25×0.8）=4m/s²
當(dāng)加速度為零時(shí)速度最大，設(shè)為v，故：
  mgsin37°-μmgcos37°-F_A=0
其中：F_A=BIL
   I=$\frac{BLv}{R}$
聯(lián)立解得：v=$\frac{mgR（sin37°-μcos37°）}{{B}^{2}{L}^{2}}$=$\frac{0.1×10×1×（0.6-0.25×0.8）}{{1}^{2}×0．{2}^{2}}$m/s=10m/s
（2）棒壓縮彈簧的過程中，只有重力做功，機(jī)械能守恒，所以返回ab位置時(shí)速度大小為v，方向沿斜面向上．
設(shè)在棒上滑的過程中，棒上移的最大位移為x，速度為v時(shí)加速度為a，在極短時(shí)間△t內(nèi)速度的變化量大小為△v，位移為△x．
根據(jù)牛頓第二定律得：
  $\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$+μmgcos37°=ma=m$\frac{△v}{△t}$
變形得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$△t+μmgcos37°•△t=m△v
兩邊求和得：$\sum_{\;}^{\;}$（$\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R}$△t）+$\sum_{\;}^{\;}$（μmgcos37°•△t）=$\sum_{\;}^{\;}$m△v
又v△t=△x
代入上式得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}x}{R}$+μmgcos37°•t=mv
解得 x=（25-5t）m
根據(jù)功能關(guān)系可得：此時(shí)間內(nèi)電阻上產(chǎn)生的熱量為 Q=$\frac{1}{2}m{v}^{2}$-μμmgcos37°•x=t J
答：
（1）導(dǎo)體棒在磁場中的最大速度和最大加速度分別為4m/s²和10m/s． 
（2）此時(shí)間內(nèi)電阻上產(chǎn)生的熱量為t J．

點(diǎn)評(píng) 本題關(guān)鍵是明確導(dǎo)體棒的受力情況、運(yùn)動(dòng)情況和能量轉(zhuǎn)化情況，注意導(dǎo)體棒加速下滑過程是加速度逐漸減小的加速運(yùn)動(dòng)，第二問要采用微分法求解，其切入口是牛頓第二定律和加速度的定義式．