Question

5．如圖所示，細繩系一小球（如圖甲所示）或軌道內(nèi)側(cè)的小球（如圖乙所示）在豎直面內(nèi)做圓周運動，在最高點時的臨界狀態(tài)為只受重力作用，則有mg=m$\frac{{v}^{2}}{r}$，故小球能通過最高點的臨界速度v=$\sqrt{gr}$．
試證明小球在最高點時：
（1）v=$\sqrt{gr}$，拉力或壓力為零；
（2）v＞$\sqrt{gr}$，小球受向下的拉力或壓力作用；
（3）v＜$\sqrt{gr}$，小球不能到達最高點．
即輕繩模型的臨界速度為v_臨=$\sqrt{gr}$．

Answer 1

分析 利用小球做圓周運動時的向心力與速度之間的關系式F_n=m$\frac{{v}^{2}}{r}$以及向心力是沿半徑方向上的所有力的合力即可證明．

解答 解：（1）、當小球的速度v=$\sqrt{gr}$時，在最高點需要的向心力為：F_n=m$\frac{{v}^{2}}{r}$=mg，此時需要的向心力與重力大小相等，方向為重力的方向，即重力提供向心力，所以此時拉力或壓力為零；
（2）當小球的速度v＞$\sqrt{gr}$，在最高點需要的向心力為：F_n=m$\frac{{v}^{2}}{r}$＞mg，此時需要的向心力大于重力，方向為重力的方向，重力不足以提供小球的向心力，所以小球要做圓周運動，小球還得受向下的拉力或壓力作用；
（3）當小球的速度v＜$\sqrt{gr}$，在最高點需要的向心力為：F_n=m$\frac{{v}^{2}}{r}$＜mg，所以小球會在上升的過程中脫離圓形軌道，不能到達最高點．
由以上闡述可知，輕繩模型的臨界速度為v_臨=$\sqrt{gr}$．
答：證明過程如上．

點評 對于豎直面內(nèi)的圓周運動，關鍵搞清小球向心力的來源，是沿半徑方向上的所有力的合力．運用牛頓第二定律進行求解，知道桿子可以表現(xiàn)為拉力，也可以表現(xiàn)為支持力．注意在豎直面內(nèi)的運動有兩種模型：輕繩類和輕桿類．
1、輕繩類：運動質(zhì)點在一輕繩的作用下繞中心點作變速圓周運動．由于繩子只能提供拉力而不能提供支持力，質(zhì)點在最高點所受的合力不能為零，合力的最小值是物體的重力．
2、輕桿類：運動質(zhì)點在一輕桿的作用下，繞中心點作變速圓周運動，由于輕桿能對質(zhì)點提供支持力和拉力，所以質(zhì)點過最高點時受的合力可以為零，質(zhì)點在最高點可以處于平衡狀態(tài)．所以質(zhì)點過最高點的最小速度為零
豎直平面內(nèi)的圓周運動一般可以劃分為這兩類：
豎直（光滑）圓弧內(nèi)側(cè)的圓周運動，水流星的運動，可化為豎直平面內(nèi)輕繩類圓周運動；
汽車過凸形拱橋，小球在豎直平面內(nèi)的（光滑）圓環(huán)內(nèi)運動，小球套在豎直圓環(huán)上的運動等，可化為輕豎直平面內(nèi)輕桿類圓周運動．