Question

17．宇航員在半徑為R的星球表面完成了下列實(shí)驗(yàn)：他將一圓錐體固定，使其軸線(xiàn)豎直，再用長(zhǎng)細(xì)線(xiàn)一端固定于圓錐體的頂點(diǎn)O，另一端拴一小球，讓其在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，如圖所示．他測(cè)得小球的運(yùn)動(dòng)周期為T(mén)時(shí)，恰好對(duì)圓錐體無(wú)壓力，又測(cè)出O點(diǎn)到圓軌道面間的距離為h，已知萬(wàn)有引力常量為G．求：
（1）該星球表面重力加速度g；
（2）該星球質(zhì)量M；
（3）在該星球表面發(fā)射衛(wèi)星所需要的最小速度．

Answer 1

分析 （1）小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由細(xì)線(xiàn)的拉力和重力的合力提供向心力，由牛頓第二定律和向心力公式結(jié)合列式，可求得重力加速度g；
（2）根據(jù)重力等于萬(wàn)有引力，可求得星球的質(zhì)量M．
（3）在該星球表面發(fā)射衛(wèi)星所需要的最小速度等于其第一宇宙速度，根據(jù)重力等于向心力求解．

解答 解：（1）小球在水平面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由細(xì)線(xiàn)的拉力和重力的合力提供向心力，則得：
mgtanθ=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$htanθ        
則 g=$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$h                       
（2）在星球表面的物體有：G$\frac{Mm′}{{R}^{2}}$=mg          
則 M=$\frac{4{π}^{2}{R}^{2}h}{G{T}^{2}}$                     
（3）環(huán)繞該星球表面的衛(wèi)星得：mg=m$\frac{{v}^{2}}{R}$   
則  v=$\frac{2π}{T}\sqrt{Rh}$
答：（1）該星球表面重力加速度g是$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$h；
（2）該星球質(zhì)量M是$\frac{4{π}^{2}{R}^{2}h}{G{T}^{2}}$；
（3）在該星球表面發(fā)射衛(wèi)星所需要的最小速度是$\frac{2π}{T}\sqrt{Rh}$．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵找出物體的臨界情況和衛(wèi)星圓周運(yùn)動(dòng)的條件，能夠熟練運(yùn)用萬(wàn)有引力等于重力、萬(wàn)有引力等于向心力研究衛(wèi)星問(wèn)題．