Question

如圖所示，一質(zhì)量為m₁的半圓形槽內(nèi)內(nèi)壁光滑，放在光滑水平面上，槽的左側(cè)有一固定的木樁，阻止槽水平向左運(yùn)動(dòng)，槽的半徑為R，今從槽左側(cè)A端的正上方D處自由釋放一個(gè)質(zhì)量為m₂的小球，球恰好從A點(diǎn)自然進(jìn)入槽的內(nèi)壁軌道．試求：
（1）若D點(diǎn)到A點(diǎn)的高度為h₀，當(dāng)小球到達(dá)槽的最低點(diǎn)的過(guò)程中木樁對(duì)槽的沖量；
（2）為了使小球沿槽的內(nèi)壁恰好運(yùn)動(dòng)到槽的右端B點(diǎn)，D點(diǎn)到A點(diǎn)的高度h．

Answer 1

分析：（1）小球從D點(diǎn)至O′點(diǎn)的過(guò)程中，半圓形槽由于木樁的阻止不動(dòng)，只有重力對(duì)小球做功，小球的機(jī)械能守恒，可求出小球到達(dá)半圓槽的最低點(diǎn)O′的速度．
對(duì)小球和槽整體，運(yùn)用動(dòng)量定理求解木樁對(duì)槽的沖量；
（2）當(dāng)小球從半圓槽的最低點(diǎn)O′運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)的過(guò)程中，半圓槽由于小球的壓力作用離開木樁，以半圓槽和小球組成的系統(tǒng)為研究對(duì)象，水平方向動(dòng)量守恒和機(jī)械能守恒，根據(jù)兩大守恒列出方程，聯(lián)立求解D點(diǎn)到A點(diǎn)的高度h．

解答：解：（1）設(shè)D點(diǎn)至A點(diǎn)的高度為h．小球從D處開始運(yùn)動(dòng)至O′的過(guò)程，只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒，得：
m₂g（h₀+R）=

1

2

m

v

2 1

…①
解得：v₁=

2g(h0+R)

此過(guò)程，對(duì)小球和槽整體，水平方向運(yùn)用動(dòng)量定理得：I=m₂v₁=m₂

2g(h0+R)

（2）設(shè)小球從h高處下落，能恰好運(yùn)動(dòng)到槽的右端B點(diǎn)，經(jīng)過(guò)O′點(diǎn)時(shí)的速度為v₂，小球從O′點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)，此時(shí)小球和槽有共同速度v_B，對(duì)槽和小球系統(tǒng)而言，只有重力做功，可得：
m₂g（h+R）=

1

2

m2

v

2 2

 …②
-m₂gR=

1

2

（m₁+m₂）

v

2 B

-

1

2

m2

v

2 2

…③
該階段，系統(tǒng)在水平方向不受外力，水平方向動(dòng)量守恒，故有：
m₂v₂=（m₁+m₂）v_B …④
聯(lián)立以上三式，解得：h=

m2

m1

R
答：
（1）若D點(diǎn)到A點(diǎn)的高度為h₀，當(dāng)小球到達(dá)槽的最低點(diǎn)的過(guò)程中木樁對(duì)槽的沖量是m₂

2g(h0+R)

；
（2）為了使小球沿槽的內(nèi)壁恰好運(yùn)動(dòng)到槽的右端B點(diǎn)，D點(diǎn)到A點(diǎn)的高度為h為

m2

m1

R．

點(diǎn)評(píng)：本題是系統(tǒng)的動(dòng)量守恒與機(jī)械能守恒問題，關(guān)鍵是分析物理過(guò)程，尋找解題規(guī)律．