Question

7．如圖所示，AB是一個(gè)固定在豎直面內(nèi)的弧形軌道，與豎直圓形軌道BCD在最低點(diǎn)B平滑連接，且B點(diǎn)的切線是水平的；BCD圓軌道的另一端D與水平直軌道DE平滑連接．B、D兩點(diǎn)在同一水平面上，且B、D兩點(diǎn)間沿垂直圓軌道平面方向錯(cuò)開了一段很小的距離，可使運(yùn)動(dòng)物體從圓軌道轉(zhuǎn)移到水平直軌道上．現(xiàn)有一無(wú)動(dòng)力小車從弧形軌道某一高度處由靜止釋放，滑至B點(diǎn)進(jìn)入豎直圓軌道，沿圓軌道做完整的圓運(yùn)動(dòng)后轉(zhuǎn)移到水平直軌道DE上，并從E點(diǎn)水平飛出，落到一個(gè)面積足夠大的軟墊上．已知圓形軌道的半徑R=0.40m，小車質(zhì)量m=2.5kg，軟墊的上表面到E點(diǎn)的豎直距離h=1.25m、軟墊左邊緣F點(diǎn)到E點(diǎn)的水平距離s=1.0m．不計(jì)一切摩擦和空氣阻力，弧形軌道AB、圓形軌道BCD和水平直軌道DE可視為在同一豎直平面內(nèi)，小車可視為質(zhì)點(diǎn)，取重力加速度g=10m/s²．
（1）要使小車能在豎直圓形軌道BCD內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則小車通過(guò)豎直圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度至少多大；
（2）若小車恰能在豎直圓形軌道BCD內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則小車運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)它的支持力多大；
（3）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明要使小車完成上述運(yùn)動(dòng)，其在弧形軌道的釋放點(diǎn)到B點(diǎn)的豎直距離應(yīng)滿足什么條件．

Answer 1

分析 （1）小車恰好能在豎直圓形軌道BCD內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，小車在最高點(diǎn)C時(shí)，由重力提供向心力，此時(shí)小車的速度最小，根據(jù)牛頓第二定律列式即可求解；
（2）根據(jù)機(jī)械能守恒定律求出小車通過(guò)B點(diǎn)的速度，在B點(diǎn)，根據(jù)牛頓第二定律列式求解軌道對(duì)小車的支持力；
（3）小車從E點(diǎn)水平飛出后做平拋運(yùn)動(dòng)，根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)的基本公式結(jié)合機(jī)械能守恒定律即可求解．

解答 解：（1）設(shè)小車能在豎直圓形軌道BCD內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，小車通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的最小速度為v_C，
根據(jù)牛頓第二定律有 mg=m$\frac{{v}_{C}^{2}}{R}$
解得 v_C=$\sqrt{gR}$=$\sqrt{10×0.4}$m/s=2.0m/s
（2）小車恰能在圓軌道內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，此情況下小車通過(guò)B點(diǎn)的速度為v_B，軌道對(duì)小車的支持力為F_N．
根據(jù)機(jī)械能守恒定律有 $\frac{1}{2}m{v}_{B}^{2}$=$\frac{1}{2}$mv_C²+2mgR
解得：v_B=2$\sqrt{5}$m/s
根據(jù)牛頓第二定律有 F_N-mg=m$\frac{{v}_{B}^{2}}{R}$
解得  F_N=6mg=150N
（3）設(shè)小車從E點(diǎn)水平飛出落到軟墊上的時(shí)間為t，則 h=$\frac{1}{2}$gt²
解得 t=0.50s
設(shè)小車以v_E的速度從E點(diǎn)水平飛出落到軟墊F點(diǎn)右側(cè)，則v_Et＞s，解得v_E＞2.00m/s
要使小車完成題目中所述運(yùn)動(dòng)過(guò)程，應(yīng)當(dāng)滿足兩個(gè)條件：
①小車通過(guò)軌道B點(diǎn)的速度 v_B≥2$\sqrt{5}$m/s；
②小車通過(guò)E點(diǎn)的速度 v_E＞2.00m/s
因?yàn)?v_B=v_E
綜合以上兩點(diǎn)，小車通過(guò)B點(diǎn)的速度應(yīng)不小于v_B=2$\sqrt{5}$m/s
設(shè)釋放點(diǎn)到B點(diǎn)的豎直距離為H，根據(jù)機(jī)械能守恒定律有
  mgH=$\frac{1}{2}$mv_B²
解得 H=1.0m
則釋放點(diǎn)到B點(diǎn)的豎直距離 H≥1.0m
答：（1）要使小車能在豎直圓形軌道BCD內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則小車通過(guò)豎直圓軌道最高點(diǎn)時(shí)的速度至少為2m/s；
（2）若小車恰能在豎直圓形軌道BCD內(nèi)做完整的圓周運(yùn)動(dòng)，則小車運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)軌道對(duì)它的支持力為150N；
（3）通過(guò)計(jì)算說(shuō)明要使小車完成上述運(yùn)動(dòng)，其在弧形軌道的釋放點(diǎn)到B點(diǎn)的豎直距離應(yīng)滿足H≥1.0m．

點(diǎn)評(píng) 本題要分析清楚物體的運(yùn)動(dòng)過(guò)程，把握每個(gè)過(guò)程和狀態(tài)的規(guī)律，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)，涉及力的問(wèn)題，往往根據(jù)向心力進(jìn)行分析處理．平拋運(yùn)動(dòng)根據(jù)運(yùn)動(dòng)的分解法研究．