Question

如圖所示的“S”形玩具軌道，該軌道是用內(nèi)壁光滑的薄壁細圓管彎成，放置在豎直平面內(nèi)，軌道彎曲部分是由兩個半徑相等的半圓對接而成，圓半徑比細管內(nèi)徑大得多，軌道底端與水平地面相切，軌道在水平面上不可移動．彈射裝置將一個小球（可視為質(zhì)點）從a點水平彈射向b點并進入軌道，經(jīng)過軌道后從最高點d水平拋出．已知小球與地面ab段間的動摩擦因數(shù)μ=0.2，不計其它機械能損失，ab段長L=1.25m，圓的半徑R=0.1m，小球質(zhì)量m=0.01kg，軌道質(zhì)量為M=0.26kg，g=10m/s²，求：
（1）要使小球從d點拋出后不碰軌道，小球的初速度v₀需滿足什么條件？
（2）設(shè)小球進入軌道之前，軌道對地面的壓力大小等于軌道自身的重力，當v₀至少為多少時，小球經(jīng)過兩半圓的對接處c點時，軌道對地面的壓力為零．
（3）若v₀=3m/s，小球最終停在何處？

Answer 1

分析：（1）小球離開d后做平拋運動，根據(jù)幾何關(guān)系可知，只要下落3R過程水平位移超過R即碰不到軌道，然后利用動能定理即可求解．
（2）在c點對小球進行受力分析，依據(jù)向心力公式列方程，然后結(jié)合動能定理即可求解．
（3）先判斷小球能否通過d點，若能通過根據(jù)平拋規(guī)律求解，若不能，根據(jù)功能關(guān)系求解．

解答：解：（1）設(shè)小球到達d點處速度為v_d，由動能定理，得：
-mgμL-4mgR=

1

2

m 

v

2 d

-

1

2

m

v

2 0

    ①
如小球由d點做平拋運動剛好經(jīng)過圖中的O點，則有
3R=

1

2

gt2          ②
R=v_dt            ③
聯(lián)立①②③并代入數(shù)值得：v0=

79 6

≈

13.1

m/s．
小球的初速度v₀需滿足：v0＞

13.1

m/s
故要使小球從d點拋出后不碰軌道，小球的初速度v₀需滿足條件為：v0＞

13.1

m/s
（2）設(shè)小球到達c點處速度為v_c，由動能定理，得
-μmgL-mg2R=

1

2

m

v

2 c

 -

1

2

m

v

2 0

      ④
當小球通過c點時，由牛頓第二定律得：F+mg=m

v 2 c

R

    ⑤
要使軌道對地面的壓力為零，則有：F=Mg        ⑥
聯(lián)立④⑤⑥并代入數(shù)值，解得小球的最小速度：v₀=6 m/s  
故當v₀至少為6m/s時，小球經(jīng)過兩半圓的對接處c點時，軌道對地面的壓力為零．
（3）小球能通過d點，需滿足v_d≥0，由動能定理：
-mgμL-4mgR=0-

1

2

m

v

2 0

得：v0=

13

m/s．
因v0=3m/s＜

13

m/s，小球過不了d點而沿軌道原路返回，對整個過程由動能定理，有：
-μmgx=0-

1

2

m

v

2 0

得：x=2.25m
故小球最終停在a右側(cè)0.25m處．

點評：豎直平面的圓周運動往往結(jié)合能否完成圓周運動的臨界條件以及平拋運動進行考查，解題思路是正確受力分析列向心力方程，然后結(jié)合功能關(guān)系求解．