Question

20．如圖甲所示，2013年北京時(shí)間12月6日17時(shí)47分，“嫦娥三號(hào)”經(jīng)過(guò)地月轉(zhuǎn)移軌道后，經(jīng)過(guò)兩次近月制動(dòng)，進(jìn)入距離月球表面高度為100km的環(huán)月圓軌道運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)第三次近月制動(dòng)后進(jìn)入橢圓軌道，并于12月10日到達(dá)離月球表面高度為15km的虹灣區(qū)上空，著陸器準(zhǔn)備軟著陸，已知月球的半徑為1740km，月球表面的重力加速度為1.6m/s²．
（1）求“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月圓軌道與橢圓軌道交匯點(diǎn)的加速度和著陸器在橢圓軌道近月點(diǎn)的加速度的比值．
（2）如圖乙所示，如果我們把“嫦娥三號(hào)”的著陸器在虹灣區(qū)上空100m之后的軟著陸過(guò)程簡(jiǎn)化為運(yùn)動(dòng)軌跡A→B→C，AB直線段與豎直方向的夾角為60°，AB階段的制動(dòng)力恒定且與運(yùn)動(dòng)軌跡垂直，著陸器在A點(diǎn)處的速度可視為零，在B點(diǎn)處關(guān)閉發(fā)動(dòng)機(jī)，則著陸器在該軟著陸過(guò)程所用的總時(shí)間為多少？著陸前瞬間的速度大小為多少？

Answer 1

分析 （1）根據(jù)牛頓第二定律求出“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月圓軌道與橢圓軌道交匯點(diǎn)的加速度和著陸器在橢圓軌道近月點(diǎn)的加速度，再求比值；
（2）根據(jù)牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出A→B的時(shí)間，以及B點(diǎn)的速度．再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出B→C的時(shí)間，即可求出軟著陸的總時(shí)間；根據(jù)動(dòng)能定理即可求出著陸前瞬間的速度大�。�

解答 解：（1）環(huán)月圓軌道半徑${R}_{1}^{\;}=1740km+100km=1840km$，橢圓軌道的近月點(diǎn)到月心的距離為${R}_{2}^{\;}=1740km+15km=1755km$
則“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月圓軌道與橢圓軌道交匯點(diǎn)時(shí)由牛頓第二定律有：${F}_{1}^{\;}=G\frac{mM}{{R}_{1}^{2}}=m{a}_{1}^{\;}$
著陸器在橢圓軌道近月點(diǎn)時(shí)由牛頓第二定律有：${F}_{2}^{\;}=G\frac{mM}{{R}_{2}^{2}}=m{a}_{2}^{\;}$
故有$\frac{{a}_{1}^{\;}}{{a}_{2}^{\;}}=\frac{{R}_{2}^{2}}{{R}_{1}^{2}}=\frac{175{5}_{\;}^{2}}{184{0}_{\;}^{2}}=0.91$
（2）A→B過(guò)程中$a=\frac{{F}_{合}^{\;}}{m}={g}_{月}^{\;}cos60°=0.8m/{s}_{\;}^{2}$
著陸器到達(dá)B點(diǎn)的時(shí)間為${t}_{1}^{\;}$，有$192m=\frac{1}{2}a{t}_{1}^{2}$，得${t}_{1}^{\;}=4\sqrt{30}s$
到達(dá)B點(diǎn)的速度為${v}_{1}^{\;}=a{t}_{1}^{\;}=\frac{16\sqrt{30}}{5}m/s$
B→C過(guò)程中，${v}_{1y}^{\;}={v}_{1}^{\;}cos60°=\frac{8\sqrt{30}}{5}m/s$
著陸前瞬間的豎直速度為${v}_{2y}^{\;}$，則
${v}_{2y}^{2}-{v}_{1y}^{2}=2{g}_{月}^{\;}×4m$，得${v}_{2y}^{\;}=\frac{8\sqrt{35}}{5}m/s$
則從B→C過(guò)程的運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{2y}^{\;}-{v}_{1y}^{\;}}{{g}_{月}^{\;}}$
著陸器軟著陸的總時(shí)間為$t={t}_{1}^{\;}+{t}_{2}^{\;}=22.35s$
著陸前由動(dòng)能定理有$m{g}_{月}^{\;}h=\frac{1}{2}m{v}_{\;}^{2}$
解得$v=8\sqrt{5}m/s$
答：（1）“嫦娥三號(hào)”在環(huán)月圓軌道與橢圓軌道交匯點(diǎn)的加速度和著陸器在橢圓軌道近月點(diǎn)的加速度的比值0.91．
（2）則著陸器在該軟著陸過(guò)程所用的總時(shí)間為22.35s，著陸前瞬間的速度大小為8$\sqrt{5}$m/s

點(diǎn)評(píng) 本題考查天體運(yùn)動(dòng)、牛頓第二定律和曲線運(yùn)動(dòng)的綜合應(yīng)用，意在考查考生對(duì)物理過(guò)程的分析綜合能力和運(yùn)算能力，關(guān)鍵是理解題意，物理情境搞清楚，然后選擇合適的規(guī)律列式．