Question

（2011?江蘇模擬）如圖所示，一群（不計重力）不同速度的質量為m，電量為q的帶正的粒子進入電場強度為E，磁感強度為B的速度選擇器（方向如圖所示）后，緊接著進入垂直于紙面向外的兩個勻強磁場區(qū)域，其磁感應強度分別為B和2B，從磁場Ⅰ的邊界MN上的a點進入磁場Ⅰ，經過時間t₁=π m/6qB穿過磁場Ⅰ后進入右邊磁場Ⅱ并按某一路徑再返回到磁場Ⅰ的邊界MN上的某一點b，（途中虛線為磁場區(qū)域的分界面）

求：
（1）帶電粒子進入磁場時的速度；
（2）中間場區(qū)的寬度d；
（3）粒子從a點到b點所經歷的時間t_ab；
（4）入射點a到出射點b的距離．

Answer 1

分析：（1）帶電粒子在速度選擇器做勻速直線運動，洛倫茲力與電場力平衡，可求出帶電粒子的速度．
（2）帶電粒子進入磁場Ⅱ時，由洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律和圓周運動公式可求出半徑和周期，根據題意，帶電粒子經過時間t₁=

πm

6qB

穿過磁場Ⅰ，能求出軌跡對應的圓心角，由幾何知識求解中間磁場的寬度d．
（3）根據帶電粒子在磁場中速度的偏向角等于軌跡的圓心角，由幾何知識求出粒子到達b時與磁場邊界的夾角，從而知道速度的偏向角θ，由t=

θ

2π

T求得粒子在磁場Ⅱ運動的時間，就能得到總時間．
（4）根據幾何關系求解入射點a到出射點b的距離．

解答：解：（1）帶電粒子在速度選擇器做勻速直線運動，則有
   qE=qvB，得  v=

E

B

（2）帶電粒子進入磁場Ⅱ時，由洛倫茲力提供向心力，則有
   qvB=m

v2

r

，得 r=

mv

qB

周期為  T=

2πr

v

=

2πm

qB

由題，帶電粒子經過時間t₁=

πm

6qB

穿過磁場Ⅰ，則t1=

1

12

T，軌跡對應的圓心角為  θ=30°
所以磁場Ⅰ的寬度為  d=rsin30°=

mE

2qB2

（3）帶電粒子在磁場Ⅱ中運動的半徑為  r′=

mv

2qB

，周期為T′=

2πm

2qB

=

πm

qB

由于帶電粒子在磁場中速度的偏向角等于軌跡的圓心角，則帶電粒子第一經過兩種磁場的邊界時，與邊界的夾角為60°，根據幾何知識得知，粒子到達b時，與磁場邊界的夾角也為60°，則速度的偏向角為120°，所以粒子在磁場Ⅱ運動的時間為 t₂=

1

3

T′=

πm

3qB

故粒子從a點到b點所經歷的時間t_ab=2t₁+t₂=

2πm

3qB

（4）根據幾何知識得，入射點a到出射點b的距離為
  y_ab=r+r（1-cos30°）=

4- 3

2

r=

(4- 3 )mE

2qB2

答：
（1）帶電粒子進入磁場時的速度為

E

B

；
（2）中間場區(qū)的寬度d是

mE

2qB2

；
（3）粒子從a點到b點所經歷的時間t_ab是=

2πm

3qB

；
（4）入射點a到出射點b的距離是

(4- 3 )mE

2qB2

．

點評：本題關鍵有兩點：一抓住帶電粒子做勻速圓周運動時速度的偏向角等于軌跡所對應的圓心角；二是利用幾何知識求出空間的距離．