Question

4．許多游樂場設(shè)施利用向心加速度來使游客感覺到刺激，因此游樂場有“十個(gè)項(xiàng)目九個(gè)轉(zhuǎn)”之說．某游樂場有一個(gè)水上過山車項(xiàng)目，如圖所示：游客乘坐橡皮艇（圖中用一小球表示，橡皮艇和游客的總質(zhì)量為m）從離水平滑道AB高為h=4R的傾斜光滑滑道頂端由靜止開始滑下，進(jìn)入水平滑道AB（阻力不計(jì)）和水平滑道下方半徑為R的圓形管道（R遠(yuǎn)大于管道內(nèi)徑），游客乘坐橡皮艇沿圓形管道運(yùn)動(dòng)一周后，由B點(diǎn)水平拋出落入一個(gè)大水池中，水池的上邊緣DE與圓形管道的圓心O等高．某一次游客乘坐橡皮艇在圓形管道內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中可視為阻力f大小不變．游客乘坐橡皮艇多次從光滑滑道頂端靜止開始下滑，橡皮艇沿圓形管道運(yùn)動(dòng)時(shí)，管道里面有水從內(nèi)壁流進(jìn)或排出，改變管道里的水量，可以改變對(duì)橡皮艇的阻力f，已知對(duì)橡皮艇阻力f最大值為f₁=$\frac{3mg}{2π}$，最小值為f₂=$\frac{mg}{2π}$，重力加速度為g．則游客乘坐橡皮艇多次從光滑管道頂端靜止開始滑下，該設(shè)施正常工作時(shí)，求：
（1）游客乘坐橡皮艇在最低點(diǎn)C時(shí)，管道對(duì)橡皮艇的支持力最大值；
（2）游客乘坐橡皮艇可以安全落入水池中，BD間的水平距離最小值；
（3）若BD間的水平距離采用（2）問中的數(shù)值，使得游客乘坐橡皮艇可以安全落入水池中，水池的寬度DE滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）當(dāng)阻力取最小值時(shí)，橡皮艇到達(dá)最低點(diǎn)C的速度最大，根據(jù)動(dòng)能定理求出C點(diǎn)的速度，結(jié)合牛頓第二定律求出支持力的最大值．
（2）當(dāng)摩擦力取最大值時(shí)，到達(dá)B點(diǎn)的速度最小，則平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移最小，根據(jù)動(dòng)能定理求出B點(diǎn)的最小速度，根據(jù)高度求出平拋運(yùn)動(dòng)的時(shí)間，結(jié)合B點(diǎn)的速度和時(shí)間求出水平距離的最小值．
（3）根據(jù)動(dòng)能定理求出B點(diǎn)的最大速度，結(jié)合平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律求出DE的最小值．

解答 解：（1）要使最低點(diǎn)支持力最大，f取最小值f₂，從靜止到C點(diǎn)，
由動(dòng)能定理得，$mg（h+2R）-{f}_{2}•2πR=\frac{1}{2}m{{v}_{c}}^{2}$  ①
在C點(diǎn)，${F}_{N}-mg=m\frac{{{v}_{c}}^{2}}{R}$，②
聯(lián)立①②可得，F(xiàn)_N=12mg  ③
（2）要使BD水平距離最小，f取最大值f₁，從靜止到B點(diǎn)，
由動(dòng)能定理得，$mgh-{f}_{1}•2πR=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$   ④
從B到D，做平拋運(yùn)動(dòng)，在水平方向上：L=v_Bt   ⑤
豎直方向上：R=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$    ⑥
聯(lián)立④⑤⑥可得，L=2R    ⑦
（3）要使橡皮艇安全落入水中，最遠(yuǎn)不能超越E點(diǎn)，
從B到E，水平方向上：L+x_DE=v_B′t    ⑧
當(dāng)x_DE最大時(shí)，一定安全，此時(shí)v_B′對(duì)應(yīng)最大值，即f取最小值f₂，從靜止到B點(diǎn)，
由動(dòng)能定理得，$mgh-{f}_{2}•2πR=\frac{1}{2}m{v}_{B}{′}^{2}$    ⑨
聯(lián)立⑧⑨可得${x}_{DE}=2（\sqrt{3}-1）R$．
因此，水池的寬度應(yīng)滿足${x}_{DE}≥2（\sqrt{3}-1）R$．
答：（1）游客乘坐橡皮艇在最低點(diǎn)C時(shí)，管道對(duì)橡皮艇的支持力最大值為12mg；
（2）游客乘坐橡皮艇可以安全落入水池中，BD間的水平距離最小值為2R；
（3）水池的寬度應(yīng)滿足${x}_{DE}≥2（\sqrt{3}-1）R$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了動(dòng)能定理和圓周運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)的綜合運(yùn)用，知道圓周運(yùn)動(dòng)向心力的來源以及平拋運(yùn)動(dòng)在水平方向和豎直方向上的運(yùn)動(dòng)規(guī)律是解決本題的關(guān)鍵．