Question

3．如圖所示，飛行器P在赤道面繞地球做勻速圓周運動，運動方向與地球自轉(zhuǎn)方向一致，已知地球相對飛行器P的張角為θ，地球的半徑為R，地球的自轉(zhuǎn)周期為T₀，飛行器P的公轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G，當?shù)孛嫱ㄐ呕居^測到飛行器時，兩者就可以進行點對點直接通信，忽略信號的傳輸時間．下列說法正確的是（　�。�

• A． 地球相對飛行器P的張角θ越小，飛行器P的運行周期越大
• B． 飛行器P的軌道半徑r=Rsin$\frac{θ}{2}$
• C． 地球的質(zhì)量M=$\frac{{4{π^2}{R^3}}}{{G{T^2}{{sin}^3}\frac{θ}{2}}}$
• D． 赤道上固定的一個地面通信基站在T₀的時間內(nèi)可以與飛行器通信的總時間為$\frac{（π-θ）}{2π}\frac{{{T_0}^2}}{{{T_0}-T}}$

Answer 1

分析 根據(jù)幾何知識求出飛行器的半徑，由開普勒第三定律分析其周期與軌道半徑的關(guān)系．由地球的萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力定律求解地球的質(zhì)量M．

解答 解：AB、設(shè)飛行器的軌道半徑為r，由幾何知識可得 r=Rcot$\frac{θ}{2}$，則知θ越小，r越大，根據(jù)開普勒第三定律得知飛行器P的運行周期越大，故A正確，B錯誤．
C、飛行器P繞地球做勻速圓周運動，由地球的萬有引力提供向心力，則有
   G$\frac{Mm}{{r}^{2}}$=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}r$
結(jié)合 r=Rsin$\frac{θ}{2}$，解得 M=$\frac{{4{π^2}{R^3}}}{{G{T^2}{{sin}^3}\frac{θ}{2}}}$，故C正確．
D、設(shè)赤道上固定的一個地面通信基站在T₀的時間內(nèi)可以與飛行器通信的總時間為t，則有
  （$\frac{2π}{T}$-$\frac{2π}{{T}_{0}}$）t=2（$\frac{π}{2}-\frac{θ}{2}$）
解得 t=$\frac{（π-θ）}{2π}$$•\frac{T{T}_{0}}{{T}_{0}-T}$，故D錯誤．
故選：A．

點評 本題關(guān)鍵掌握萬有引力定律和萬有引力等于向心力這一基本思路，結(jié)合幾何知識進行解題．