Question

我國(guó)在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心用長(zhǎng)征三號(hào)丙運(yùn)載火箭，成功將“天鏈一號(hào)02星”送入太空．天鏈一號(hào)02星”是我國(guó)第二顆地球同步軌道數(shù)據(jù)中繼衛(wèi)星，它將與“天鏈一號(hào)01星”組網(wǎng)運(yùn)行，為我國(guó)神舟飛船以及未來(lái)空間實(shí)驗(yàn)室、空間站建設(shè)提供數(shù)據(jù)中繼和測(cè)控服務(wù)．若用m表示“天鏈一號(hào)02星”的質(zhì)量，h表示它離地面的高度，R₀表示地球的半徑，g₀表示地球表面處的重力加速度，T表示地球自轉(zhuǎn)周期，萬(wàn)有引力常量為G．
（1）求“天鏈一號(hào)02星”受到地球?qū)λ�的萬(wàn)有引力的大�。ㄓ煤�有m、g₀、R₀、h的字母表示）
（2）求地球赤道表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度與“天鏈一號(hào)02星”環(huán)繞速度昀比值
（3）利用上述數(shù)據(jù)計(jì)算出地球的質(zhì)量M（用含有G、T、R₀、h的字母表示）

Answer 1

分析：（1）列“天鏈一號(hào)02星”受到地球?qū)λ�的萬(wàn)有引力表達(dá)式，用地球上的物體受到的引力等于重力，推導(dǎo)黃金代換，帶入可得“天鏈一號(hào)02星”受到地球?qū)λ�的萬(wàn)有引力．
（2）由線(xiàn)速度表達(dá)式：v =

2πr

T

，可得地球赤道表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度與“天鏈一號(hào)02星”環(huán)繞速度的比值．
（3）利用萬(wàn)有引力提供向心力的周期表達(dá)式，可得地球的質(zhì)量．

解答：解：
（1）“天鏈一號(hào)02星”所受萬(wàn)有引力大小為：F=G

Mm

(R0+h)2

地球表面問(wèn)題的重力可以近似認(rèn)為是萬(wàn)有引力，即：G

Mm

R02

=mg0
解得：GM=g0R02，
帶入可得：F=

mg0R02

(R+h)2

（2）地球赤道表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度為：v1=

2πR0

T

“天鏈一號(hào)02星”環(huán)繞速度為：v2=

2π(R0 +h)

T

則二者線(xiàn)速度之比為：v₁：v₂=R₀：（R₀+h）
（3）根據(jù)萬(wàn)有引力提供向心力得：G

Mm

(R0+h)2

=m(R0+h)

4π2

T2

解得：M=

4π2(R0+h)3

GT2

答：
（1）“天鏈一號(hào)02星”受到地球?qū)λ�的萬(wàn)有引力的大小F=

mg0R02

(R+h)2

；
（2）地球赤道表面的物體隨地球自轉(zhuǎn)的線(xiàn)速度與“天鏈一號(hào)02星”環(huán)繞速度的比值v₁：v₂=R₀：（R₀+h）；
（3）地球的質(zhì)量M=

4π2(R0+h)3

GT2

．

點(diǎn)評(píng)：本題是基礎(chǔ)的萬(wàn)有引力定律的應(yīng)用，通過(guò)本題重點(diǎn)掌握萬(wàn)有引力等于重力的應(yīng)用．