Question

8．某校舉行托乒乓球跑步比賽，賽道為水平直道，比賽距離為s．比賽時，某同學將球置于球拍中心，以大小為a的加速度從靜止開始做勻加速直線運動，當速度達到v₀時，再以v₀做勻速直線運動跑至終點．整個過程中球一直保持在球拍中心不動．比賽中，該同學在勻速直線運動階段保持球拍的傾角為θ₀，如圖所示．設球在運動中受到空氣阻力大小與其速度大小成正比，方向與運動方向相反，不計球與球拍之間的摩擦，球的質量為m，重力加速度為g．
（1）求空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k；
（2）在加速跑階段，為使乒乓球相對球始終靜止，需隨時調整球拍傾角θ，求傾角θ隨速度v變化的關系式；
（3）若該同學勻速跑階段球拍的傾角比θ₀大了β并保持不變，為保證到達終點前球不從球拍上距離中心為r的下邊沿掉落，求β應滿足的條件．此時球所受空氣阻力可視為與球拍傾角為θ₀時的一樣．

Answer 1

分析 （1）在勻速運動階段，受力平衡，根據平衡條件列式即可求解；
（2）加速階段，設球拍對球的支持力為N′，根據牛頓第二定律即可求解；
（3）根據牛頓第二定律求出球沿球拍面下滑的加速度，當球運動的位移小于等于r時，球不從球拍上掉落，根據運動學基本公式列式即可求解．

解答 解：（1）在勻速運動階段，有：mgtanθ₀=kv₀
得：k=$\frac{mgtan{θ}_{0}}{{v}_{0}}$
（2）加速階段，設球拍對球的支持力為N′，有：
N′sinθ-kv=ma
N′cosθ=mg
得tanθ=$\frac{a}{g}+\frac{v}{{v}_{0}}$tanθ₀
（3）以速度v₀勻速運動時，設空氣阻力與重力的合力為F，有：F=$\frac{mg}{cos{θ}_{0}}$
球拍傾角為θ₀+β時，空氣阻力與重力的合力不變，設球沿球拍面下滑的加速度大小為a′，有：
Fsinβ=ma′
設勻速跑階段所用時間為t，有：t=$\frac{s}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2a}$
球不從球拍上掉落的條件為：$\frac{1}{2}$a′t²≤r
得：sinβ≤$\frac{2rcos{θ}_{0}}{g（{\frac{s}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2a}）}^{2}}$
答：（1）空氣阻力大小與球速大小的比例系數(shù)k為$\frac{mgtan{θ}_{0}}{{v}_{0}}$；
（2）在加速跑階段球拍傾角θ隨速度v變化的關系式為tanθ=$\frac{a}{g}+\frac{v}{{v}_{0}}$tanθ₀；
（3）β應滿足的條件為sinβ≤$\frac{2rcos{θ}_{0}}{g{（\frac{s}{{v}_{0}}-\frac{{v}_{0}}{2a}）}^{2}}$．

點評 本題主要考查了牛頓第二定律及運動學基本公式的應用，要求同學們能正確受力分析，難度適中．