Question

14．宇宙中存在一些離其他恒星較遠的、由質(zhì)量相等的三顆星組成的三星系統(tǒng)，通�？珊雎云渌�星體對它們的引力作用．已觀測到穩(wěn)定的三星系統(tǒng)存在兩種基本的構(gòu)成形式：一種是三顆星位于同一直線上，兩顆星圍繞中央星在同一半徑為R的圓軌道上運行；另一種形式是三顆星位于等邊三角形的三個頂點上，并沿外接于等邊三角形的圓軌道運行．設每個星體的質(zhì)量均為m．
（1）試求第一種形式下，星體運動的線速度v和周期T．
（2）假設兩種形式下星體的運動周期相同，試求第二種形式下星體間的距離r應為多少？[設三個星體做圓周運動的半徑為R′（未知）]．

Answer 1

分析 明確研究對象，對研究對象受力分析，找到做圓周運動所需向心力的來源．
（1）運行的任一衛(wèi)星受到中心星體和另一個轉(zhuǎn)動的星體的萬有引力作用，合力充當向心力，列式求解即可；
（2）對其中一個星體受力分析，根據(jù)平行四邊形定則求出合力，有合力充當向心力列式即可．

解答 解：（1）在第一種形式下，以某個運動星體為研究對象，根據(jù)牛頓第二定律和萬有引力定律有：
${F_1}=G\frac{m^2}{R^2}$，${F_2}=G\frac{m^2}{{{{（2R）}^2}}}$${F_1}+{F_2}=m\frac{v^2}{R}$，
解得：v=$\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$，
周期：$T=\frac{2πR}{v}$，解得：T=4π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{5Gm}}$；
（2）設第二種形式下，三個星體做圓周運動的半徑為：$R'=\frac{{\frac{r}{2}}}{cos30°}$，
由于星體做圓周運動所需的向心力靠其他兩個星體的萬有引力的合力提供，由力的合成和牛頓運動定律有：
${F_合}=2G\frac{m^2}{r^2}cos30°=m\frac{{4{π^2}}}{T^2}R'$，
解得：r=$\root{3}{2.4}$R；
答：（1）第一種形式下，星體運動的線速度v為：$\sqrt{\frac{5Gm}{4R}}$，周期T為：4π$\sqrt{\frac{{R}^{3}}{5Gm}}$．
（2）假設兩種形式下星體的運動周期相同，第二種形式下星體間的距離r應為：$\root{3}{2.4}$R．

點評 本題考查了萬有引力定律的應用，萬有引力定律和牛頓第二定律是力學的重點，在本題中有些同學找不出什么力提供向心力，關(guān)鍵在于進行正確受力分析．